10.3 名校考研真题详解
一、选择题
1．若多项式函数列
在
上一致收敛于函数
，则必是多项式函数．（ ）[华东师范大学2009研]
【答案】对
【解析】设实系数多项式序列
在R上一致收敛于实值函数
，证明：也是多项式．因为实系数多项式序列在R上一致收敛于实值函数，所以对任意
，存在
，使得当
时，有
，又因为
也是多项式，若不为常数，则当
趋于无穷时，也趋于无穷，矛盾．所以
，其中
为一无穷小序列．
由上面结论及
是多项式，可知当
时，
，其中
为某一固定的多项式，
为某一收敛列，且
（因为
为柯西列）．
因为
，一致收敛于0，及，所以有
，即也是多项式，结论得证．
2．下列函数中不能在x=0处展开成幂级数的是（ ）．[南京航空航天大学研]
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】幂级数其实是Tay1or展开式的扩展，所以要求函数在x=0处n阶可导，n+1阶导数存在．很明显A在x=0处的导数不存在，所以不能展开成幂级数．
二、解答题
1．证明：
．[大连理工大学2012研]
证明：假设
，所以
因此
所以
当
时，
，存在
，存在
所以级数在
上一致收敛．
当
时，，
所以级数在
上不一致收敛．
2．设fn（x）在[a，b]上连续，且{fn（b）}发散．证明{fn（x）}在[a，b）上不一致收敛．[武汉大学研]
证明：假设{fn（x）}在[a，b）上一致收敛，由柯西准则知：对
当n，m>N时，对一切x∈[a，b）有
又fn（x）在[a，b]上连续，故
即 
的收敛域与和函数．[兰州大学2009研]
解：（1）求收敛域．
因为
所以当|x|＜1时，原幂级数绝对收敛；
当x＝－1时，原幂级数＝
" />收敛，且为条件收敛；
当x＝1时，原幂级数＝
亦为条件收敛；
当|x|＞1时，原幂级数发散．
所以原幂级数的收敛区域为[－1,1]．
（2）求和函数．
即和函数为
．
8．指出使级数
收敛的x所成的一个或几个区间．[华中科技大学研]
解：
所以级数
的收敛半径为e.
当y=±e时，
所以
在y=±e处不收敛.
解不等式
得
或
因此原级数的收敛区间为
9．设
证明：
（1）f（x）在
上可导，且一致连续；
（2）反常积分
发散．[兰州大学2009研]
证明：（1）①记
对
" />，
所以
在[0，
上连续．
对于任意的
＜
时，
＜
所以f（x）在
上一致连续；
②由
" />在[0，上连续可导，
且
（2）由于
则由Cauchy收敛准则，知反常积分
发散．
10．求级数
的收敛区间与和函数．[华中师范大学研]
解：
，所以原级数的收敛区间为（－1，1）．
当x=±1时，
所以级数
的收敛域为（－1，1）.
记
，则
所以 
的收敛区间为（－1,1）．
当x＝1或－1时，级数不收敛，故原级数的收敛域为（－1,1）．
所以当|x|＜1时，和函数为
．
14．展开
为x的幂级数．[华中科技大学研]
解：根据题意，
，（否则，f（x）将不存在），得
又 
故 
，证明：函数项级数
在
上一致收敛．[北京航空航天大学研]
证明：因为
，所以
即当
时，
部分和一致有界，而
单调递减，且一致趋于0．所以由Dirichlet判别法可得
在
上一致收敛．
17．设
" />，证明
在[a，b]上有定义，由
使得下式成立
且逐点有
，证明：
在[a，b]上一致收敛．[哈尔滨工业大学2006研]
证明：做[a，b]的个分割
，使得
，令
（i=0，1，2，…，k－1）．现设
，则存在0≤i≤k－1，使得
．由于
收敛，从而存在
，使得
所以对任意的
，且m≥n＞N，
有
于是由Cauchy收敛准则知
在[a，b]上一致收敛．
20．对任意δ＞0．证明级数
" />在（1,1+δ）上不一致收敛．[武汉大学2005研]
证明：反证法
有极限L，证明：
（1）
在（－1，1）上有定义；
（2）
[苏州大学2005研]
证明：（1）因为有极限L，所以存在M＞0，使得
，n=1，2，…，从而
．又
收敛，故由比较判别法知
在（－1，1）上收敛，即
在（－1，1）上有定义．
（2）令
，则有
因为
有极限，所以级数
收敛．又
在（－1，1）上单调且一致有界，从而由Abel判别法知
在（－1，1）上一致收敛，所以
22．设
在（－∞，+∞）上一致连续，n=1，2，…，且
在（－∞，+∞）上一致收敛于f（x）．证明：f（x）在（－∞，+∞）上一致连续．[哈尔滨工业大学研]
证明：因为
在（－∞，+∞）上一致收敛于f（x），所以对任意的
，存在N＞0，有
因为
在（－∞，+∞）上一致连续，所以对上述的
，存在
，对任意的
，当
时，有
．
于是对上述的ε，当
时有
即f（x）在（－∞，+∞）上一致连续．
23．设
（1）
有
；
（2）求常数C．[北京工业大学2010研]
解：由
" />的定义，知在（0,1）内可导，且有
.
（1）令
则
在（0,1）内可导，且
.
于是，
在（0,1）内恒为某一常数c.
（2）
.
于是，
.
取
，得
，
解得 
.
24．求幂级数
的收敛域．[北京师范大学研]
解：由于
，所以收敛半径R=1．
当α>1时，由于
，所以
收敛，故收敛域为[－1，1]．
当α≤1时，
，所以
发散．
由于当n充分大时，
单调递减趋于0，所以
收敛，故收敛域为[－1，1）．
综合起来，当α>1时，收敛域为[－1，1]；当α≤1时，收敛域为[－1，1）．
25．求
．[山东师范大学研]
解：令
，易知其收敛域为（－∞，+∞）．由幂级数的逐项可导性知
又f（0）=0，从而
．于是
26．若幂级数
在（－1，1）内收敛于f（x）．设
满足
和
，则
．[南京理工大学研、南开大学2006研]
证明：因为幂级数
在（－1，1）内收敛于f（x），所以f（x）在（－1，1）内任意次可导，且
．
由于
满足
，故存在严格单调递减或严格单调递增的子列（不妨仍记为本身）趋于0．不妨设{xn}严格单调递减趋于0，由
知
根据Ro11e定理，存在
使得
，从而
（n→∞时）
且存在
，使得
．
类似可证：
当
在
点处有
，且
，便推出
，且存在
使得
于是对于n=0，1，2，…恒有
，从而
27．将函数
在x=0处展开成幂级数．[北京交通大学研]
解：由于sint的幂级数展开式为
，从而
于是
28．已知
，求
．[武汉大学2006研]
证明：因为
，所以
．
由幂级数的逐项可积性知
