10.2　课后习题详解

§1　函数项级数的一致收敛性

1．讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性：

解：（1）

所以在（0，1）上非一致收敛．

（ii）S（x）=0，

所以在（1，＋∞）上一致收敛．

（2）S（x）=0，

所以在（0，＋∞）上一致收敛．

（3）（i）S（x）=0，

所以在（－∞，＋∞）上非一致收敛．

（ii）S（x）=0，当

所以在[－A，A]上一致收敛．

（4）（i）

所以在（0，1）上非一致收敛．

所以在（1，＋∞）上一致收敛．

（5）S（x）=|x|，由于，于是

所以在（－∞，＋∞）上一致收敛．

（6）S（x）=0，

所以在[0，1]上非一致收敛．

（7）（i）S（x）=0，由于，且

于是

所以在（0，1）上一致收敛．

所以在（1，＋∞）上非一致收敛．

（8）（i）S（x）=0，

所以在（0，1）上非一致收敛．

（ii）S（x）=1，

所以在（1，＋∞）上非一致收敛．

（9）取，使得，则

所以在[0，π]上非一致收敛．

（10）取，使得，则

所以在[0，π]上非一致收敛．

（ii）S（x）=1，

所以在[δ，π－δ]上一致收敛．

（11）（i）

所以在（－∞，＋∞）上非一致收敛．

（ii）令，其中x∈[－A，A]，n>A．设，则

于是对x∈[－A，A]，

由此得到

所以在[－A，A]上一致收敛．

（12）（i）

所以在（0，＋∞）上非一致收敛．

由于

可知

所以在[δ，＋∞）上一致收敛．

2．设，则函数序列在[0，1]上收敛但不一致收敛，且极限运算与积分运算不能交换，即

证明：函数序列在[0，1]上收敛于S（x）=0．取，则

所以在[0，1]上非一致收敛．

由于

所以

3．设，则

（1）函数序列在（－∞，＋∞）上一致收敛；

（2）在（－∞，＋∞上不一致收敛；

（3）极限运算与求导运算不能交换，即

并不对一切x∈（－∞，＋∞）成立．

解：（1），则

所以在（－∞，＋∞）上一致收敛．

（2）

取，则

所以在（－∞，＋∞）上不一致收敛．

（3）由于在x=0处，

所以在x=0处，

不成立．

4．设，则函数序列在（0，＋∞）上一致收敛；试问极限运算与求导运算能否交换，即

是否成立？

解：

所以，即

在x=1不成立．

5．设，其中α是参数．求α的取值范围，使得函数序列在[0，1]上

（1）一致收敛；

（2）积分运算与极限运算可以交换，即

（3）求导运算与极限运算可以交换，即对一切x∈[0，1]成立

解：（1），令，得到,x=．即

所以当且仅当α<1时成立，所以当α<1时，在[0，1]上一致收敛．

（2）

所以当且仅当α<2时，成立

（3），由于

所以当且仅当α<0时，

对一切x∈[0，1]成立．

6．设在区间（a，b）上连续，

证明：在（a，b）上内闭一致收敛于

证明：显然，所以只须证明在[a ＋η，b－η]上一致收敛于

取0<α<η，则在[a＋α，b－α]上一致连续．即

只要，就成立

取，则当n>N且x∈[a＋ η，b－η]时，有

由Lagrange中值定理，，于是

所以在（a，b）上内闭一致收敛于

7．设在[0，n]上连续，令

证明：在[0，a]上一致收敛于0．

证明：设，则

由于

所以在[0，a]上一致收敛于0．

8．设S（x）在[0，1]上连续，且S（1）=0．证明：在[0，1]上一致收敛．

证明：S（x）在[0，1]上连续，所以有界，设|S（x）|≤M．由S（1）=0，可知，成立．

由于在[0，1－δ]上一致收敛于零，可知，成立于是

对一切x∈[0，1]成立，因此在[0，1]上一致收敛．

§2　一致收敛级数的判别与性质

1．讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性：

解：（1）

由于在[0，1]上非一致收敛，所以在[0，1]上非一致收敛．

（2）设，则在[0，1]上

由于收敛，由Weierstrass判别法，在[0，1]上一致收敛．

（3）设，则当n≥1时，在[0，＋∞）上

其中．由于收敛，由Weierstrass判别法，在[0，＋∞）上一致收敛．

（4）（i）设，对任意的正整数N，取m=2n（n>N）与，则

所以不满足一致收敛的Cauchy收敛原理的条件，由此可知在[0，＋∞）上非一致收敛；

（ii）设，则当时，关于x在[δ，＋∞）上单凋减少，所以

由于收敛，由Weierstrass判别法，在[δ，＋∞）上一致收敛．

（5）设，则当n≥1时，，由于收敛，由Weierstrass判别法，

在（－∞，＋∞）上一致收敛．

（6）设，则当n≥1时，，由于收敛，由Weierstrass判别法，在（－∞，＋∞）上一致收敛

（7）没，则对固定的x∈[0，1]关于n是单调的，且在[0，1]上一致收敛于零，同时，由Dirichlet判别法，在[0，1]上一致收敛．

（8）设，则对固定的x∈（－∞，＋∞）关于n是单调的，且在（－∞，＋∞）上一致收敛于零，同时1，由Dirichlet判别法，在（－∞，＋∞）上一致收敛．

（9）（i）设．取，则

即在（0，＋∞）上非一致收敛于0．所以在（0，＋∞）上非一致收敛；

（ii）设，则当x∈[δ，＋∞）时，

由于收敛，由Weierstrass判别法，在[δ，＋∞）上一致收敛．

（10）设，由于与x无关且单调趋于零，所以对固定的x∈（－∞，＋∞）关于n是单调的，且在（－∞，＋∞）上一致收敛于零，同时

由Dirichlet判别法，在（－∞，＋∞）上一致收敛．

（11）设，取，对任意的正整数N，取m=2n（n>N）与，则

所以不满足一致收敛的Cauchy收敛原理的条件，由此可知在（－∞，＋∞）上非一致收敛．

（12）设，则对固定的x∈（－∞，＋∞）关于n是单调的，且在（－∞，＋∞）上一致收敛于零，同时，由Dirichlet判别法，在（－∞，＋∞）上一致收敛．

2．证明：函数在（0，2π）上连续，且有连续的导函数．

证明：由于收敛，由Weierstrass判别法，在（0，2π）上一致收敛，所以在（0，2π）上连续．

设，由于单调趋于零，且对任意的0<δ<π，当x∈[δ，2π－δ]时，

由Dirichlet判别法，可知在[δ，2π－δ]上一致收敛，即在（0，2π）上内闭一致收敛，因此在（0，2π）上连续．再由逐项求导定理，可知在（0，2π）上成立，即在（0，2π）上有连续的导函数．

3．证明：函数在（0，＋∞）上连续，且有各阶连续导数．

证明：对任意的0<a<A<＋∞，当x∈[a，A]，成立，且收敛，由Weierstrass判别法，在[a，A]上一致收敛，即在（0，＋∞）内一致收敛，所以在（0，＋∞）上连续．

设，与上面类似可证明在（0，＋∞）上内闭一致收敛，因此在（0，＋∞）上连续．再由逐项求导定理，可知在（0，＋∞）上成立，即在（0，＋∞）上有连续的导函数．

注意到（k=1，2，…）在（0，＋∞）上都是内闭一致收敛的，所以上述过程可以逐次进行下去，由数学归纳法，可知f（x）=在（0，＋∞）上有各阶连续导函数．

4．证明：函数在（1，＋∞）上连续，且有各阶连续导数；函数在（0，＋∞）上连续，且有各阶连续导数．

证明：设，对任意1<a<A<＋∞，当x∈[a，A]，成立，且收敛，由Weierstrass判别法，在[a，A]上一致收敛，即在（1，＋∞）上内闭一致收敛，所以在（1，＋∞）上连续．

又，且对任意1<a<A<＋∞，在[a，A]上一致收敛，即在（1，＋∞）上内闭一致收敛，则在（1，＋∞）上连续．由逐项求导定理，可知，即f（x）在（1，＋∞）上有连续导函数．

利用，可以证明在（1，＋∞）上内闭一致收敛，同理可得f（x）在（1，＋∞）上有各阶连续导函数．

设，由Dirichlet判别法，可知对任意0<a<A<＋∞．在[a，A]上一致收敛，即

在（0，＋∞）上内闭一致收敛，所以在（0，＋∞）上连续．

又，同样由Dirichlet判别法，可知对任意0<a<A<＋∞，在[a，A]上一致收敛，即（0，＋∞）上内闭一致收敛，所以在（0，＋∞）上连续．由逐项求导定理，可知，即g（x）在（0，＋∞）上有连续导函数．

利用，同样由Dirichlet判别法，可以证明在（0，＋∞）上内闭一致收敛，同理可得g（x）在（0，＋∞）上有各阶连续导函数．

5．证明：函数项级数可以逐项求导，即

证明：函数项级数对一切x∈（－∞，＋∞）收敛，且

由于，由Weierstrass判别法，可知在（－∞，＋∞）上一致收敛，再由逐项求导定理，即可知道

6．设数项级数收敛，证明：

证明：（1）首先对于每一固定的x∈[0，δ）（δ>0），关于n单凋，且对于一切x∈[0，δ）与一切n，成立

，又因为是数项级数，它的收敛意味着关于x的一致收敛性，于是由Abel判别法，在[0，δ）上一致收敛，因此和函数关于x在[0，δ）连续，从而成立

（2）由例题10.2.4，在[0，1]上一致收敛，再由逐项积分定理，得到

7．设在区间（a，b）连续，且对一切成立．证明：若在（a，b）上点态收敛于一个连续函数，则也必然收敛于一个连续函数．

证明：设任意闭区间[c，d]（a，b）．由于在[c，d]连续，和函数在[c，d]连续，

则由Dini定理可知在[c，d]一致收敛．于是由Cauchy收敛原理，可知

，成立

此即说明在[c，d]一致收敛，因此在[c，d]连续．

由于[c，d]（a，b）的任意性，即得到在（a，b）连续．

8．设函数项级数在x=a与x=b收敛，且对一切在闭区间[a，b]上单调增加．证明：

在[a，b]上一致收敛．

证明：由于在x=a与x=b收敛，由Cauchy收敛原理，可知，成立

与,

再由在[a，b]上的单调增加性，可知对一切x∈[a，b]成立

此即说明在[a，b]上一致收敛．

9．设对一切在x=a右连续，且在x=a发散．证明：对任意δ>0，在（a，a＋δ）上必定非一致收敛．

证明：采用反证法．设在（a，a＋δ）上一致收敛，则，成立

再令x→a＋，得到这说明在x=a收敛，与条件矛盾，所以在（a，a＋δ）上必定非一致收敛．

10．证明函数项级数在[－a，a]上是一致收敛的，其中a是小于的任意固定正数．

证明：在[－a，a]上单调增加，所以

由于收敛，所以收敛，再由习题8可知在[－a，a]上一致收敛．

11．设

（1）证明：f（x）在[0，π／2]上连续；

（2）计算

解：（1）对一切，有

由于在上一致收敛，由Weierstrass判别法，可知在上一致收敛，

从而在连续．

（2）由（1），在上一致收敛，由逐项积分定理，

再利用例题9.5.3的结果，得到

12．设

（1）证明：f（x）在（－∞，＋∞）上连续；

（2）记，证明：

证明：（1）对一切x∈（－∞，＋∞），有

由于收敛，由Weierstrass判别法，可知在（－∞，＋∞）上一致收敛，所以在（－∞，＋∞）上连续；

（2）由于在（－∞，＋∞）上一致收敛，由逐项积分定理，

于是

这是一个Leibniz级数，它的前两项为与，所以

13．设

（1）证明f（x）在[0，＋∞）上可导，且一致连续；

（2）证明反常积分发散．

证明：（1）由收敛，可知在[0，＋∞）上点态收敛；又，且对一切x∈[0，＋∞），收敛，所以在[0，＋∞）上一致收敛．由逐项求导定理，在[0，＋∞）上可导．

由于

可知f（x）在[0，＋∞）上一致连续．

（2）

由于，可知，所以反常积分发散．

§3　幂级数

1．求下列幂级数的收敛半径与收敛域：

解：（1）设，所以收敛半径为

当时，，级数发散．

当时，，级数收敛．

所以收敛域为

（2）设，所以收敛半径为R=1．

当x=2时，，级数发散．

当x=0时，，通项不趋于零，级数也发散．

所以收敛域为D=（0，2）．

（3）设，所以收敛半径为

当时，，级数收敛．

所以收敛域为

（4）设，所以收敛半径为R=1．

当x=0时，是Leibniz级数，所以收敛．

当x=－2时，，级数发散．

所以收敛域为D=（－2，0]．

（5）设

不趋于零，因而发散．

所以收敛域为D=（－e，e）．

（8）设，所以收敛半径为R=4．

当x=±4时，，应用Stirling公式

可知级数的通项不趋于零，因而发散．

所以收敛域为D=（－4，4）．

（9）设

，所以收敛半径为R=1．

当x=－1时，应用不等式可

知．是Leibniz级数，所以收敛．

当x=1时，．令，由Raabe判别法可知级数发散．

所以收敛域为D=[－1，1）．

2．设a>b>0，求下列幂级数的收敛域：

解：（1），所以收敛半径为

当时，，级数收敛．

当时，，级数发散．

所以收敛域为

（2），所以收敛半径为R=a．

当x=±a时，的通项不趋于零，级数发散，所以收敛域为D=（－a，a）．

（3）设，则，所以收敛半径为

当的通项不趋于零，级数发散，所以收敛域为D=

3．设的收敛半径分别为和讨论下列幂级数的收敛半径：

解：（1）设的收敛半径为R．

当时，收敛，当时，发散，所以

（2）设的收敛半径为R．

当时，收敛．

当时，发散．

但当时，的收敛半径有可能增加，例如的收敛半径为1，

的收敛半径也为1，但的收敛半径为2．

所以

（3）设的收敛半径为R．

由，可知R≥R₁R₂．

上式等号可能不成立，例如的收敛半径为1，收敛半径也为1，但

4．应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并指出它们的定义域：

解：（1）级数的收敛半径为R=1，当时，级数发散，所以定义域为D=（－1，1）．

设，利用逐项求积分，得到

所以

（2）级数的收敛半径为R=1，当时，级数发散，所以定义域为D=（－1，1）．

设，利用逐项求导，得到

所以

（3）级数的收敛半径为R=1，当时，级数发散，所以定义域为D=（－1，1）．

设，利用逐项求积分与上面习题（1），得到

所以

（4）级数的收敛半径为R=1，当时，级数收敛，所以定义域为D=[－1，1]．

设，利用逐项求导，得到

于是，所以

而注意S（1）也可利用S（x）在[－1，1]上的连续性，由极限得到．

（5）级数的收敛半径为R=1，当时，级数发散，所以定义域为D=（－1，1）．

设，利用逐项求积分与上面习题（1），得到

所以

（6）级数的收敛半径为，所以定义域为D=

设，则，由e^x与，即可得到

（7）级数的收敛半径为，所以定义域为D=

设，则，所以

注  本题也可直接利用例题10．3．6，得到

5．设，则不论在x=r是否收敛，只要

在x=r收敛，就成立

并由此证明：

证明：由于在x=r收敛，可知的收敛半径至少为r，所以的收敛半径也至少为r．当，利用逐项积分，得到

由于收敛，可知在[0，r]连续，令x→r－，得到

对利用上述结果，就得到

6．证明：

满足方程y^（4）=y；

证明：（1）连续4次逐项求导，得到

（2）应用逐项求导，可得

于是

7．应用幂级数性质求下列级数的和：

解：（1）设，令，利用逐项求积分可得

于是，所以

（2）设，利用逐项求导可得

所以

（3）首先由逐项求积分可得设f（x）=，再利用逐项求积分，得到

于是

所以

（4）设，利用逐项求积分可得

于是

所以

（5）设，令，利用逐项求导可得

于是

所以

（6）首先由逐项求导可得．设f（x）=，令

，则

于是

（7）设，令，则

因此f（x）=xg（x）=xe^－x．所以

8．设正项级数发散，，且，求幂级数的收敛半径．

解：设幂级数的收敛半径为R₁，的收敛半径为R₂．由0≤a_n≤A_n可知R₁≥R₂；又由发散，可知R₁≤1．

由于

可知R₂=1．结合上述关系，得到R₁=1．

9．设

（1）证明：f（x）在上连续，在上可导；

（2）f（x）在处的左导数是否存在？

证明：（1）的收敛半径为，且在，级数收敛，由Abe1第二定理，在上一致收敛，所以在上连续．

由于，且对任意在上一致收敛，即在上内闭一致收敛，由函数项级数的逐项求导定理，在上可导，且．

（2）f（x）在处的左导数不存在．

令t=2x，则令利用逐项求导定理，可以得到

其中应用L’Hospita1法则，得到

§4　函数的幂级数展开

1．求下列函数在指定点的Tay1or展开，并确定它们的收敛范围：

解：（1）令x－1=t，则

因为级数只有有限项，所以收敛范围是

（2）由，应用逐项求导得到

级数的收敛半径为R=1．

当x=－2与x=0时，级数发散，所以收敛范围是D=（－2，0）．

级数的收敛半径为R=1．

当时，级数发散，所以收敛范围是D=（－1，1）．

级数的收敛半径为，所以收敛范围是

级数的收敛半径为R=2．

当x=4时，级数为，收敛；当x=0时，级数为，发散．所以收敛范围是D=（0，4]．

级数的收敛半径为R=2．

当时，级数为，则

由Raabe判别法，级数收敛．所以收敛范围是D=[－2，2]．

级数的收敛半径为R=2．

当x=3与x=－1时，级数发散，所以收敛范围是D=（－1，3）．

级数的收敛半径为R=1．

当x=1时，级数发散；当x=－1时，级数收敛．所以收敛范围是D=[－1，1）．

级数的收敛半径为R=1．

当时，级数发散，所以收敛范围是D=（－1，1）．

设级数的xⁿ项的系数为a_n，则

所以级数的收敛半径为R=1．

当时，级数的通项不趋于零，级数发散．所以收敛范围是D=（－1，1）．

2．求下列函数在x₀=0的Tay1or展开：

解：

3．利用幂级数展开，计算下列积分，要求精确到0.001：

解：

这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值，设u_n=，由于u₃≈0.00003，因此前面4项之和的小数部分具有三位有效数字，所以

这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值，设u_n=，由于u₃≈0.0001，因此前面4项之和的小数部分具有三位有效数字，所以

这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值，设u_n=，由于u₃≈0.00016，因此前面4项之和的小数部分具有三位有效数字，所以

这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值，设u_n=，由于u₄≈0.00004，因此前面4项之和的小数部分具有三位有效数字，所以

4．应用在x=0的幂级数展开，证明：

证明：

应用逐项求导，得到

以x=1代入，即得到

5．求下列函数项级数的和函数：

解：（1）令，应用逐项求导，得到

于是

从而得到

以代入，得到

（2）由级数乘法的Cauchy乘积，

其中

6．设{a_n}是等差数列，b>1，求级数的和．

解：设，则

首先我们有设，则

于是，所以

从而得到

7．利用幂级数展开，计算

解：　 

 

5．设，证明：在[－1，1]上一致收敛于|x|．

证明：首先有0≤P₀（x）≤|x|．设0<P_k（x）≤|x|，由于函数h（t）=t＋在是单调增加的，所以有

由数学归纳法得到对一切自然数n成立

于是由，又得到P_n+1（x）≥P_n（x），所以函数序列在[－1，1]上收敛．

设，对等式两边求极限，

得到，

于是解得P（x）=|x|，并由Dini定理可知在[－1，1]上是一致收敛于|x|的．