2.1.3　函数可导与连续的关系

函数y=f（x）在点x0处连续是指

函数y=f（x）在点x0处可导是指

那么，它们之间有什么关系呢？

设函数y=f（x）在点x0处可导，即存在.由具有极限的函数与无穷小的关系知道

其中，当Δx→0时，α为无穷小.上式两边同乘以Δx，得

Δy=f′（x0）Δx+αΔx.

由此可见，当Δx→0时，Δy→0.这就是说，函数y=f（x）在点x0处是连续的.

所以，如果函数y=f（x）在点x0处可导，则函数在该点必连续.反之，一个函数在某点连续却不一定在该点可导.

例11　讨论函数

在x=1处的可导性与连续性.

所以f（x）在x=1连续.又因

故f（x）在x=1处不可导.

定理　如果函数y=f（x）在点x0处可导，则函数y=f（x）在点x0处连续；反之不真.

例如，函数f（x）=|x|在x=0处连续但不可导.

因此，函数在某点处连续是在该点可导的必要条件，但不是充分条件.

例12　a，b为何值时，函数

在x=1处可导.

解　，f（1）=1，由于f（x）在x=1处可导，所以f（x）在x=1处连续，故而a-b=1.

又因为

所以a=-1.

将a=-1代入a-b=1中，解得b=-2.

故当a=-1，b=-2时，函数f（x）在x=1处可导.