1 传统和现代景气指数的计算方法

经济周期波动是通过一系列经济活动来传递和扩散的，任何一个经济变量本身的波动过程都不足以代表宏观经济整体的波动过程。因此，为了正确地测定宏观经济波动状况，必须综合考虑生产、消费、投资、贸易、财政、金融、企业经营、就业等各领域的景气变动及相互影响。经济繁荣和衰退可以通过不同部门经济变量的时间序列得到反映，因此可以选取与经济周期波动密切相关的一组重要经济指标，用数学方法合成为经济景气指数，作为观测宏观经济波动的综合尺度，这是合成指数方法的基本思想。NBER开发的经济周期先行、一致和滞后合成指数，被一直使用至今，用来刻画经济状态和描述未来发展动向，对衰退和复苏做出预测。

1.1 合成指数的计算方法

目前国际上使用的合成指数计算方法有三种，分别为美国NBER方法、OECD方法和日本经济企划厅调查局的方法，本文所使用的方法与NBER合成指数计算方法一致[2]。设指标Yit为第i个指标；i=1，2，…，k，n为样本个数；t表示时间。首先对Yit求对称变化率Cit：

为了防止变动幅度大的指标在合成指数中取得支配地位，各指标的对称变化率Cit都被标准化，使其平均绝对值等于1。首先求标准化因子Ai：

用Ai将Cit标准化，得到标准化变化率Sit：

Sit=Cit/Ai，t=2，3，…，n　　　　　　（3）

求出一致指标组的每个时点的综合变化率Rt：

其中，wi是第i个指标的权数，可以使用等权，即wi=1。最终制成以基准年份为100的合成指数，令CI1=100，则

1.2 动态因子模型和SW景气指数

在计算景气指数方面，动态因子模型（Dynamic Factor Model）得到广泛应用。Stock和Watson（1989）认为，宏观经济变量的变化存在一个共同的成分，这一因素可由一个不可观测的基本变量来体现，这一基本变量代表了总的经济状态，它的波动才是真正的景气循环。他们利用动态因子模型，构造了捕捉经济变量之间协同变化的共同成分，这一不可观测的基本变量被称为Stock-Waston型景气指数，简称SW景气指数。由于SW景气指数是建立在严密的数学模型基础上，所以和CI等传统的景气循环的测定方法相比有了很大的进步。Stock和Watson构建景气指数的方法在理论界得到了广泛的关注和发展，各国政府和研究机构也纷纷利用这种方法开发出了新的景气指数。

1.2.1 动态因子模型形式

Δyit=γi（L）Δct+uit，i=1，2，…，k　　　　　　（6）

φ（L）Δct=εt　　　　　　（7）

ψi（L）uit=υit　　　　　　（8）

其中，γi（L），ϕ（L），ψi（L）分别为pi，q，ri阶滞后算子多项式。Δyit代表第i个一致经济指标Yit的差分序列减均值，它由共同成分的差分Δct的当期和滞后期的线性组合与特殊成分uit构成，εt和υit彼此独立且服从正态分布，k为一致经济指标的个数。这里的ct是我们最为关心的反映景气状态的SW景气指数。式（6）是因子模型的形式，它与分别描述了共同因子的动态行为和各个特殊成分的动态行为的式（7）和式（8），共同构成了动态因子模型。

1.2.2 状态空间模型形式

式（6）～式（8）构成的模型中包含不可观测变量ct，若要对这样的模型进行估计，需要将其写成状态空间模型的形式。状态空间模型建立了可观测变量和不可观测的状态变量之间的关系，通过可观测变量估计状态变量。状态空间模型的一般形式为：

量测方程：

yt=Ztαt+dt+εt　　　　　　（9）

状态方程：

αt=Ttαt-1+Rtηt，t=1，…，T　　　　　　（10）

在量测方程中，yt是包含k个经济变量的可观测向量，αt为状态向量，t=1，2，…，T，T表示样本长度，Zt是k×m参数矩阵，dt是k×1向量，εt是k×1向量，是均值为0，协方差矩阵为Ht的连续的不相关扰动项。在式（10）描述的状态方程中，Tt是m×m参数矩阵，Rt是m×g系数矩阵，ηt是g×1向量，是均值为0，协方差矩阵为Qt的连续的不相关扰动项。在所有的时间区间上，扰动项εt和ηt是相互独立的。量测方程中的矩阵Zt，dt，Ht表示量测方程误差项的方差协方差矩阵，Qt表示转移方程误差项的方差协方差矩阵。转移是不是“状态”？

1.2.3 动态因子模型的状态空间形式

经过适当地定义，式（6）～式（8）可以表示成状态空间模型的形式。在本文后面的实证分析中，状态空间模型形式为：

量测方程：

状态方程：

将动态因子模型表示成状态空间模型形式时，每个指标的特殊成分uit是状态变量，因此，量测方程（11）中并不含有状态空间模型标准形式（9）中的随机扰动项。状态空间模型用通常的估计方法进行估计是不可能的，状态空间模型要利用强有效的递归算法——Kalman滤波来进行估计。