1.4.2　相似矩阵与矩阵对角化

定义1-38　设都是n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵，使得，则称矩阵A与B相似，或称相似于，记为，可逆矩阵称为将变换成的相似变换矩阵。

显然，矩阵的相似满足三个基本性质：

（1）反身性：；

（2）对称性：若，则；

（3）传递性：若，，则。

此外，还有如下一些结论。

定理1-22　若，则有

（1），（为任意数），（为正整数）；

（2）若可逆，则可逆且，。

定理1-23　若，则具有

（1）相同的秩，即；

（2）相同的行列式，即；

（3）相同的特征多项式，即；

（4）相同的特征值；

（5）相同的迹，即tr(A)=tr(B)。

必须指出，定理1-23中的诸结论仅为的必要非充分条件。

例1-40　设，其中，求。

解：因为，由定理1-23中的（2）、（5）知：，，即有，解之得。

例1-41（1）矩阵与矩阵是否相似？为什么？

（2）讨论矩阵与的相似性。

解：（1）因为，故不相似；又，故不相似；的特征值为1、2、0，的特征值为3、0，不完全相同，故不相似。

（2）尽管，，且矩阵M,N具有相同的特征值，但因为对任意可逆矩阵P，，故M,N不相似。

定义1-39　如果方阵相似于一个对角矩阵，则称矩阵可对角化。

注意，对角矩阵的幂是很容易计算的，因此对于可对角化矩阵的幂的计算也可用如下方法大大简化。

例1-42　设，给定，其中，求。

解：

例1-42中矩阵可对角化是给定的，但对任意一个方阵，其是否一定可以对角化呢？答案是否定的。那么，什么样的矩阵一定可以对角化呢？

定理1-24（对角化定理）　n阶方阵可对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量。

如果矩阵相似于对角矩阵，那么，的对角线元素都是特征值（重根重复出现），而相似变换矩阵的各列就是A的n个线性无关的特征向量，其排列次序与对应的特征值在对角矩阵中的排列次序一致。

推论1-12　如果n阶矩阵有n个互异的特征值，那么必可对角化。

这是一个方阵可对角化的充分非必要的常用判别方法。若的特征值有重根，则推论1-13是判定可对角化的一个充分必要条件。

推论1-13　n阶矩阵可对角化的充分必要条件是的每个重特征值对应有个线性无关的特征向量。

例1-43　设矩阵，则

（1）是否可以对角化？若可以，求出对角矩阵及相似变换矩阵；

（2）求。

解：（1）的特征多项式为

解特征方程，得的特征值为，，又由

得的基础解系：；由

得的基础解系：，由推论1-13知，可以对角化，且对角矩阵，相似变换矩阵，即。

（2）因为，通过初等变换法，可得出，故

需要指出，定理1-23中若，则矩阵与具有相同的特征值，反之未必成立。而有了矩阵的对角化及相似性的传递性，可以很容易得到在判别矩阵相似性时经常用到的一种方法：若n阶矩阵与有相同的特征值（重根时重数一致），且均可对角化，则必有。

例1-44（汽车出租问题）　汽车出租公司有三种车型的汽车——轿车、运动车、货车可供出租，在若干年内，有长期租用顾客600人，租期为两年，两年后续签租约时顾客常常改租的车型，记录表明：

目前300名顾客租用轿车，其中有20%的人在一个租期后改租运动车，10%的人改租货车；

目前150名顾客租用运动车，其中有20%的人在一个租期后改租轿车，10%的人改租货车；

目前150名顾客租用货车，其中有10%的人在一个租期后改租轿车，10%的人改租运动车。

现预测两年后租用这些车型的顾客各有多少人，以及多年后公司该如何分配出租的三种车型。

解：这是一个动态系统。600名顾客在三种车型中不断地转移租用，用向量表示第n次续签租约后租用这三种车型的顾客人数（也是公司对三种车型的分配数），则问题变为已知，求及考察当时，的发展趋势。

由题意知，两年后，三种车型的租用人数应为

即

其中，称为转移矩阵，其元素是由顾客在续约时转租车型的概率组成的。

将代入式（1.17），即得

即两年后租用这三种车型的顾客分别为255人、180人、165人。

第二次续签租约后，三种车型的租用人数为。可得到第n次续签租约后，三种车型的租用人数为，这就需要计算的n次幂，以分析此动态系统的发展态势，下面用对角化的方法求。

由

得到的特征值为，并可分别求得对应的特征向量：

令，，则有，，其中，从而有

令，由于，，因此可得

故有

这表明，当n增加时，三种车型的租用向量趋于一个稳定向量。可以预测，多年以后，公司对出租中的这三种车型分配趋于相等，即各200辆。

例1-45　自然界中各物种的生存是互相依赖、互相制约的。假设三个物种的生存满足如下制约关系：

其中，分别为三个物种在某年的存活数（单位：百万个），分别为从该年后第n年三个物种的存活数。记存活数向量，则上面的制约关系方程组可表示为，若已知某年存活数向量，在这种制约关系下，试讨论这三个物种若干年后的变化趋势。

解：由题意易得，为了分析若干年后这三个物种存活数的发展趋势，需要计算。

由

得到特征值。

由可得对应于的特征向量；

由可得对应于的特征向量；

由可得对应于的特征向量。

因此，其中，，且由可得

故

所以

注意，当时，，则对足够大的n，。

这表明对足够大的n，三个物种每年大约以1.2的倍数同比例增长，即年增长率为20%，且每900万个物种1，大致对应2000万个物种2和2000万个物种3。这里最大的正特征值1.2决定了物种增长，对应的特征向量决定了三个物种之间的生存比例关系。

以上例子给出了分析离散动态系统的常用方法，它在工程技术、经济分析及生态环境分析等诸多方面有广泛使用。而特征值和特征向量在分析中也起着十分重要的作用，读者需要细心体会，以提高应用能力。