4.1　经典玻色弦

首先回顾点粒子。在经典力学中，点粒子的拉格朗日量为

系统的作用量S及其变分为

所以。通过分部积分法可得欧拉-拉格朗日方程为

将L的表达式代入欧拉-拉格朗日方程，可得牛顿运动定律，即

显然，系统的动量和哈密顿量分别为

而坐标和动量的泊松括号为

现在考虑质量为m的点粒子在引力场中的运动，即由度规描述的黎曼几何中的运动。假定度规是(D-1)个正的本征值和1个负的本征值，对应于D-维时空中的闵氏符号。这里我们使用自然单位制。

大量点粒子运动的作用量与世界线的长度不变量成正比，即

不变量线元为

若经典轨道写作，其中τ是任意参数，它引导点粒子沿着世界线运动，则式（4.1.6）可写作

式中，

式（4.1.8）在粒子轨迹的再参量化之下不变。因此式（4.1.8）具有粒子世界线的特性，并且与坐标的选择无关。然而，式（4.1.8）中的平方不适用于无质量粒子。为此，我们引入辅助坐标，它可解释为世界线一维“绝对”几何。故式（4.1.6）可用经典等价的形式重新表达，即

比较式（4.1.8）与式（4.1.10），得

解得

这正是粒子的运动方程。将式（4.1.11）代入式（4.1.10），得

于是作用量的本质被揭示出来。在当前形式中，τ的再参量化对称性在下述变换下可被描述为式（4.1.10）的不变性。

式中，是依赖于τ的无穷小参数。该变换适用于无质量粒子。进行规范选择e=1/m，共轭动量为

而运动方程可以通常的方式得到。式（4.1.11）为约束条件，可解释为质量壳条件。

在量子力学中，点粒子的传播可由下面的路径积分描述：

4.1.1　弦的作用量及其对称性

将点粒子的作用量推广到更高维度。如果考虑的对象是n-维的（在图4.1中，n分别为0,1,2），则式（4.1.6）最明显的推广是它扫出不变的(n+1)-维时空体积，系数必须具有(质量)n+1个维度。由于仅描述玻色子的自由度，所以(1+1)-维流形的内在几何可由度规描述。具体地，式（4.1.10）中第一项的推广为

式中，和是一个n-维对象的空间坐标；是的逆矩阵，而h是的行列式的绝对值。矩阵具有闵氏符号，故当其本征值n为负值时，类时；当n为正值时，类空。当函数将一个“世界流形”（线、片、管）映射到物理时空时，要求Dn+1。

式（4.1.16）的几何特性是，它独立于坐标的特殊选择。是不变体积元，也不变，因为张量指标被收缩了。现在，一般具有个分量，并且有(n+1)个独立的再参量化不变量。故n>0，h不能通过世界面的再参量化被简单地消除。然而，必须考虑到还有一个局域对称仅发生在弦（n=1）的情况下。存在一个局域外尔标量度规：

根据式（4.1.17），有

因此，在弦的情况中借助这种额外对称性仍然可能消除所有的依赖。

外尔不变性至少能够局域消除所有的依赖，这在弦理论中很重要。对于膜及更高维度的东西，存在一个突出问题：式（4.1.16）定义了一个(n+1)-维量子场理论，通过权重计算，对n=1，它是重整化的；对n>1，它是非重整化的。本书后面的讨论，仅考虑弦（n=1）的情况。

4.1.2　闵氏空间中的自由弦

上文中为了探讨弦在一般时空中的传播而建立了作用量式（4.1.16），本章浓缩了闵氏空间，将式（4.1.16）简化到闵氏空间中为

式中，坐标σ的范围为0σπ。即使在平面背景中，我们也能够对式（4.1.19）添加额外项。额外项可能与D-维庞加莱不变量兼容，并且具有幂次计算可重整化的2-维理论：

S1是2-维宇宙常数项，不具有S的外尔对称性，与S会导致不相同的经典场方程。特别是，在关于的运动方程中，的迹意味着=0。如果λ不为0，则可能出现矛盾。表示由度规组成的世界片的内在2-维标量曲率。S2并不重要，因为2-维组合是总导数。作为结果，S2对经典理论没有贡献。

现在讨论式（4.1.19）的对称性，不管背景如何，它具有早先提及的局域对称性。下面3个式子具有再参量化不变性：

外尔缩放为

另外，存在反映背景对称的整体对称性，弦在这种对称的背景中传播。对于闵氏空间，这恰是庞加莱不变性，可描述为

，是反对称矩阵，其中为闵氏度规。

4.1.3　经典协变库仑规范和场方程

2-维能量-动量张量由S对2-维度规的变分导数给出：

我们发现：

由于外尔对称性，式（4.1.29）是自动无迹的，。场方程要求。若定义，，则的消失给出了以下两式：

于是

式（4.1.32）恰是世界片Σ的面积公式，由南部阳一郎首次提出。3个局域对称性参数包括2个再参量化参数和1个外尔标量（用于选择的3个独立元素）。于是，有2-维闵氏度规。有了这一选择，作用量可简化为

根据最小作用量原理，由式（4.1.33）可以导出，这正是欧拉-拉格朗日方程，即自由弦的2-维波动方程：

其边界条件为。

在常规情况下，2-维时空中的无质量波动方程，即式（4.1.34）的通解可以写为

式中，描述弦的右-动模；描述弦的左-动模。对易关系为

式中，

在此基础上，系统的哈密顿量取下面的简单形式：

引入世界片的“光锥坐标”和是方便的，因为和仅分别是关于和的函数。与共轭的导数由下式定义：

于是，在光锥坐标中，闵氏世界片度规张量变为

世界片指标的升和降分别由规则决定。

波动方程［式（4.1.34）］仍需由约束方程补充。对τ的导数用圆点表示，而对σ的导数用上标撇号表示，取下述形式：

式中，是关于的缩写。若按张量分析的标准规则，在坐标系统中写世界片能量-动量张量，应用式（4.1.41）和式（4.1.42），得

证明式（4.1.43）：

故式（4.1.43）成立。同理可证明式（4.1.44）成立。

由于能量-动量张量无迹，，所以，这等价于式（4.1.42）已经得出的结论，即。利用前面已知的事实，约束方程成为

在2-维量子场理论中，能量-动量守恒定律取一般形式。而对于-+，有类似的方程。在共形不变的情况中，，能量-动量守恒定律简化为

这是很有分量的陈述，它对应于一组无限的守恒量的存在。

在弦理论中，守恒量对应于库仑规范剩余的对称性。对于协变规范选择，令，并不完全使用规范自由。鉴于此，我们使用式（4.1.23）和式（4.1.25），任何组合的再参量化和外尔缩放对于

都保留着规范选择。组合的形式意味着和分别是任意函数和。若我们认为世界片再参量化是由算符V=生成的，则剩余对称性的生成元为

由～发现，守恒荷正是生成式（4.1.48）的那些。写成式（4.1.48）的算符是2-维闵氏空间中保角变换群的生成元，仅在2-维空间中是无限维共形群。

必须考虑两种类型的边界条件，分别对应于闭弦和开弦，如图4.2所示。闭弦是没有自由端点的圈，在拓扑上等于圆，如图4.2（a）所示，其合适的边界条件恰是坐标的周期性：

式（4.1.46）与周期性兼容的通解要求：

式中，是傅里叶分量，可理解为振荡器坐标；是基本长度，它与和弦张量T（）相联系：

式中，l将被设置为1。可理解为弦的坐标和动量。式（4.1.50）和式（4.1.51）中的归一化常数已被选定。注意，中的线性项在中被取消，于是闭弦边界条件事实上已经被遵守。要求是实函数，意指是实数，并且是的伴随矩阵，即

决定的泊松括号至关重要。注意，这里泊松括号用方括号，对易子用大括号。由式（4.1.52）注意到，在τ相等处的泊松括号为

式中，。式（4.1.50）和式（4.1.51）的插入表明的泊松括号为

当以对易子替代泊松括号时，i将消失。于是，当n≠0时傅里叶模是谐振子坐标，如果我们采用通常的惯例，则式（4.1.56）在n=0或者m=0时依然有效。比较式（4.1.50）、式（4.1.51）与式（4.1.55），可得

因此，恰如预测的那样，弦的质心位置和动量是正则共轭变量。

除必须在弦的端点确定适当的边界条件（如σ=0,π）之外，对于如图4.2（b）所示的开弦的分析类似于上述过程。要求边界项在作用量的变分中为零，对有

这正是开弦的边界条件，又称自由边界条件，它阻止了弦的动量在端点离开。具有这些边界条件的波动方程的通解为

若令，则开弦边界条件导致左-动分量和右-动分量结合成驻波：

关于闭弦，类似的公式为

这时左-动模与右-动模互相独立。

下面考虑D-维庞加莱不变量。在2-维理论中，庞加莱变换具有简单的整体对称性。构建与整体对称变换相关的守恒流，场理论中有一个标准程序。令为理论中的任一个场，为无穷小常参数。考虑变换：

在世界片上不是常数。在这一变换下，对于一般的作用量并非不变，因为我们正在考虑的对称性仅是整体对称性。由于作用量对于常数应该是不变量，因此其变分正比于的导数，所以对于流有一般形式：

当遵守运动方程时，作用量在任何变化［包括如式（4.1.63）所示的变化］之下都是稳定的。因此，对任何ε都是零。仅当时，这种情况才能发生。

应用这一方法容易推导出与的庞加莱变换相关的守恒流：

式中，是与变换不变量相关联的流；是与洛伦兹不变量相关联的流。世界片上的动量流穿越任一流线断面的总量为

于是，开弦端点的边界条件为不存在动量流出弦的端点，角动量流亦然。

弦的守恒的动量和角动量通过处式（4.1.65）和式（4.1.66）的流遍及的积分。例如，闭弦的总动量为

所以，弦的总动量与零模动量是一样的，这也包括了开弦。总角动量为

将其代入模展开式，得

式中，；。

用表示的有相同的表达式。通过任何类空曲线的积分能够得到相同的结果。

现在我们证明T确实是弦的张力。我们先作一个闭弦，其半径为R，如图4.3（a）所示，它在t=0时静止；再在x-y平面上作一个旋转的开弦，如图4.3（b）所示。令在时与弦的弧长成正比，即

容易看到，对于运动方程式（4.1.34）及约束方程式（4.1.41）和式（4.1.42），可假设在附近成立。由式（4.1.65）看出，这样的弦具有，进而我们可以确信T是弦的张力。

由时空回到世界片，2-维理论的哈密顿量为

其给出：

该哈密顿量（由泊松括号）生成弦的τ演化。H无量纲，因为τ无量纲。

现在考虑约束的模展开。对闭弦，这些方程全由给出。由式（4.1.51）和式（4.1.62）知，在τ=0处展开式具有傅里叶变换形式：

对于开弦，需要进行某些修改，因为不是关于间隔的正交函数。若拓展和的定义，从间隔拓展到,，则开弦的约束方程可以便利地描述。开弦边界条件为是关于的周期为2π的周期函数。约束方程相当于在间隔内消失，等价于下述它的傅里叶分量的消失：

要特别注意，对开弦，H=L0；对闭弦，H=L0+。在闭弦中，组合(L0-)必须消失，不包括动量。该组合产生闭弦的刚性转动，，将扮演一个重要角色。

弦在给定状态的振动下具有质量平方。约束方程L0=0转化成一个非常重要的方程，可决定弦内部振荡的模式。对开弦为

对闭弦为

式（4.1.77）和式（4.1.78）分别称为开弦和闭弦的质量壳条件。质量壳条件表示一个非相对论性的小提琴弦在它的振子坐标下的能量。

弦的能量-动量张量的傅里叶模和正是维拉宿算符。维拉宿算符的泊松括号可以根据各个振荡子括号直接了当地计算。由的定义得

利用恒等式[AB,CD]=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B，以及振子的泊松括号，该式变为

若n=0，则。式（4.1.80）简化为

改变第一个和式中的变量，式（4.1.81）可简化为维拉宿代数：

式（4.1.82）是一个关键的公式，其量子异常的修正稍后介绍。同样遵守维拉宿代数。式（4.1.82）有一种简单的解释。令θ为普通的角变量，，将其视作圆的参数，由生成的圆的无限小广义坐标变换为。该圆的微分同胚映射由下述算符提供：

容易看到，这些公式遵守维拉宿代数，即式（4.1.82）。于是，维拉宿代数与圆的无限小微分同胚映射代数相同。关于维拉宿代数出现的理由，很容易理解为在式（4.1.83）中用代替，用代替，与剩余对称性的生成子式（4.1.82）相一致，这种剩余对称性仍满足共形规范条件。