8.3z变换
在线性连续控制系统中，以拉普拉斯变换作为数学工具，将系统的微分方程化为代数方程，建立系统的传递函数，可以非常方便地对系统进行分析和设计。与此相似，在线性离散控制系统中，应用z变换将描述系统的线性差分方程转化为代数方程，建立系统的脉冲传递函数，从而对系统进行分析和设计。因此，z变换是研究线性离散控制系统的重要数学工具。
8.3.1z变换的定义
设连续信号x（t）存在拉普拉斯变换，其象函数为X（s）。x（t）经过等速采样后，得到离散信号x∗（t），由式（8-2）可知其表达式为
式中，T为采样周期。对上式表示的脉冲序列进行拉普拉斯变换，可得采样函数
式（8-13）最后一个等式中每一项均含有复变量s的指数函数eTs，直接运算不方便。若引入复变量
则式（8-13）可写成以z为自变量的函数
式（8-15）为离散信号x∗（t）的z变换的定义式。Z[x∗（t）]表示离散信号x∗（t）的z变换，记为X（z）。通过引入复变量z，将采样函数拉普拉斯变换的表达式转换为z的幂级数形式。
z变换，又称为采样拉普拉斯变换，它是从拉普拉斯变换直接引申出来的变换方法，它实际上是采样函数拉普拉斯变换的一种变形。对一连续函数x（t）取z变换，只考虑这个函数在采样时刻的采样值，即时间序列x（0），x（T），x（2T），…。也就是说
X（z）=Z[x∗（t）]=Z[x（t）]=Z[x（kT）]=Z[X（s）]=Z[X∗（s）]
都表示对离散信号x∗（t）的z变换。
8.3.2z变换的方法
常用的z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法。
1.级数求和法
根据z变换的定义，将式（8-15）写成级数展开式
显然，只要知道连续函数x（t）在各采样时刻t=kT（k=0，1，2，…，∞）的采样值x（kT），便可求得离散函数x∗（t）的z变换的级数展开形式。这种级数展开式是开放式的，如果不能写成闭合式形式，实际应用就不方便。一些常用函数z变换的级数形式，都可以写成闭合式形式。
例8-1 求单位阶跃函数1（t）的z变换。
解：单位阶跃函数在各采样时刻的采样值均为1，即1（kT）=1 （k=0，1，2，…，∞），由式（8-16）可得
若|z|>1，则上式的无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式可得对应的闭合式形式为
例8-2 求指数函数e-at（a>0，t≥0）的z变换。
解：根据式（8-16）可得
若|z|>a，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式可得对应的闭合式形式为
2.部分分式法
利用部分分式法求z变换时，先求出已知连续函数x（t）的拉普拉斯变换X（s）。X（s）通常是s的有理分式，然后将其展开成部分分式之和的形式，使每一部分分式对应简单的时间函数，再分别求出或查表得到每一项的z变换。最后作通分化简运算，于是可方便地求出X（s）对应的z变换X（z）。
将X（s）展开成部分分式和的形式，即
式中，n为X（s）的极点个数；Ai为常系数；si为X（s）的极点。由拉普拉斯反变换可知Ai/（s-si）对应的原函数为
，利用在例8-2中求得的指数函数的z变换，可得
因此，函数x（t）的z变换由象函数X（s）求得为
例8-3 已知连续函数x（t）的拉普拉斯变换
，求对应的z变换X（z）。
解：将X（s）展开成如下部分分式
于是，与式（8-17）对照可知，A1=1，A2=-1，s1=0，s2=-a。根据式（8-18），可得连续函数x（t）的z变换
例8-4 已知连续函数x（t）=sinωt，求对应的z变换X（z）。
解：对x（t）取拉普拉斯变换，得
将X（s）展开成部分分式
根据式（8-18），可得
3.留数计算法
已知连续函数x（t）的拉普拉斯变换X（s）及其全部极点si（i=1，2，3，…，n），则其z变换可通过下列留数计算式求得，即
式中，si为X（s）的彼此不相等的极点；ri为重极点si的阶数；n为彼此不相等的极点个数。
例8-5 已知连续函数x（t）=t2，求对应的z变换X（z）。
解：x（t）的拉普拉斯变换为
由上式可知，n=1，s1=0，r1=3。根据式（8-19）可得
例8-6 已知拉普拉斯变换
，求对应的。变换X（z）。
解：由拉普拉斯变换式X（s）可知，n=2，s1=-1，r1=2，s2=-2，r2=1。根据式（8-19）可得
常用时间函数的z变换见表8-2。由表可知，这些函数的z变换都是z的有理分式，且分母多项式的次数大于或等于分子多项式的次数。值得指出，表中所列常用时间函数z变换式的分母z多项式的阶次与相应拉普拉斯变换式的分母s多项式的阶次相等。
表8-2z变换表
（续）
8.3.3z变换的基本定理
在z变换中，有一些与拉普拉斯变换类似的基本定理。熟悉了这些定理，可以更加简便地应用z变换。
1.线性定理
若X1（z）=Z[x1（t）]，X2（z）=Z[x2（t）]，a1与a2为常数，则
证明：由z变换定义
线性定理表明，时域函数的线性组合的z变换等于各函数z变换的线性组合，z变换是一种线性变换。
2.实数位移定理
实数位移定理又称平移定理。实数位移是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移为超前、向右平移为滞后。实数位移定理如下：
若连续函数x（t）的z变换为X（z），则有滞后定理
以及超前定理
证明：1）式（8-21）的证明。由z变换定义
令m=n-k，则有
由于z变换的单边性，当m<0时，有x（mT）<0，所以上式可写为
式（8-21）得证。
2）式（8-22）的证明。由z变换定义
令m=n+k，则有
式（8-22）得证。
算子z有明确的物理意义：z-k代表时域中的滞后算子，它将采样信号滞后k个采样周期；zk代表时域中的超前算子，它将采样信号超前k个采样周期。但是，zk仅用于运算，在实际物理系统中并不存在。实数位移定理是一个重要的定理，可将描述离散系统的差分方程转换为z域的代数方程。
3.复数位移定理
若连续函数x（t）的z变换为X（z），a为常数，则有
证明：由z变换定义
令z1=ze±aT，则有
式（8-23）得证。
复数位移定理的含意是函数x（t）乘以指数函数e∓at的z变换，就等于在x（t）的z变换式X（z）中以ze±aT取代原算子z。
4.初值定理
若连续函数x（t）的z变换为X（z），且极限
存在，则有
证明：由z变换定义
当z→∞时，等式右边只有x（0），所以
5.终值定理
若连续函数x（t）的z变换为X（z），X（z）不含有z=1的二重及其以上的极点且在z平面的单位圆外无极点，则有
证明：由z变换的线性定理，有
由实数位移定理
Z[x（t+T）]=zX（z）-zx（0）
于是
上式两边取z→1的极限，得
即
所以有
如果已知x（t）的z变换X（z），不需要求其z反变换，利用初值定理和终值定理可以方便地求出x（t）的初值和终值。
8.3.4z反变换
所谓z反变换，就是已知z变换表达式X（z），求取相应的离散函数x∗（t）或离散时间序列x（kT）的过程。记为
通过z反变换只能求出连续信号在采样时刻的数值，而不能给出连续信号在采样时刻之间的有关信息。常用的z反变换方法有幂级数法、部分分式法和留数计算法。
1.幂级数法
幂级数法就是利用长除法将z变换表达式X（z）展开成z-1的幂级数，求取离散函数x∗（t）或离散时间序列x（kT）的数值。
设z变换表达式X（z）是z的有理分式函数，即
式中，ai（i=0，1，2，…，n）和bj（j=0，1，2，…，m）均为常数。将X（z）的分子、分母多项式表示为z-1的升幂形式，则可以直接用分母去除分子，得到无穷幂级数的展开式
根据实数位移定理，离散函数x∗（t）为
考虑到式（8-27），由z变换定义式（8-15）可知，式（8-28）中的系数ck（k=0，1，2，…，∞）即为x（t）在采样时刻t=kT的值x（kT）。
在实际应用中，通常计算有限的几项就够了，因此用幂级数法得到x∗（t）较简便，但不容易求出x∗（t）的通项表达式。
例8-7 已知z变换表达式
，试求其z反变换。
解：将X（z）表示为
长除法算式如下
利用长除法得
X（z）=1+3.5z-1+4.75z-2+6.375z-3+…
则离散时间函数为
x∗（t）=δ（t）+3.5δ（t-T）+4.75δ（t-2T）+6.375δ（t-3T）+…
2.部分分式法
已知z变换表达式X（z），考虑到在z变换表中z变换表达式X（z）的分子都含有因子z，所以应将X（z）/z展开为部分分式，逐项查z变换表，就可以得到离散时间函数x∗（t）或离散时间序列x（kT）。
设z变换表达式X（z）无重极点，将X（z）/z展开为如下部分分式
式中，n为X（z）的极点个数；Ai为常系数且
；zi为X（z）的极点。
式（8-29）的两端同乘以z，得到X（z）的部分分式展开式为
逐项查z变换表，得到
最后写出X（z）对应的采样函数
例8-8 已知z变换表达式
，试求其z反变换。
解：将X（z）/z展开成如下部分分式
上式两端同乘以z，得
查z变换表得离散时间序列
x（kT）=10（2k-1） （k=0，1，2，3，…，∞）
于是，离散时间函数为
3.留数计算法
在实际问题中遇到的z变换表达式X（z），除了有理分式外，也可能是超越函数，此时无法应用部分分式法及幂级数法来求z反变换，而采用留数计算法却比较方便。已知z变换表达式X（z），求取离散时间序列x（kT）的留数计算式如下：
式中，zi为X（z）的彼此不相等的极点；ri为重极点zi的阶数；n为彼此不相等的极点个数。则z变换函数X（z）对应的离散函数x∗（t）为
例8-9 已知z变换表达式
，试求其z反变换。
解：由X（z）可知，n=2，z1=1，r1=1，z2=5，r2=2。根据式（8-32），可得
于是，由式（8-33）得到X（z）对应的离散函数x∗（t）为
