自动控制原理（下）
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9.3 描述函数法

描述函数法是线性系统中的频域法在非线性系统中的推广。它是控制工程实践中广泛应用的分析非线性系统性能的一种近似方法，主要用来分析非线性系统的稳定性和自持振荡问题，并且不受系统阶次的限制。

9.3.1 描述函数法的基本概念

描述函数法的基本思想是：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。若用描述函数表示非线性环节的频域响应特性，则非线性系统就近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频域法对系统进行频域分析。

但是，由于描述函数对系统结构、非线性环节的特性和线性部分的特性都有一定的要求，其本身也是一种近似的分析方法，因此该方法的应用有一定的限制条件。应用描述函数法分析非线性系统的基本条件如下：

1）非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N和线性部分G（s）相串联的典型结构形式，如图9-27所示。

2）非线性环节的输入-输出特性是奇对称的，以保证非线性环节在正弦输入信号作用下的输出不含直流分量，也就是输出响应的平均值为零。

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图9-27 非线性系统的典型结构形式

3）线性部分具有良好的低通滤波特性。这样，当非线性环节输入正弦信号时，非线性部分输出中的高次谐波分量将被线性部分大大削弱。因此，闭环通道内近似地只有一次谐波信号流动。对于一般的非线性系统来说，这个条件是满足的。线性部分的低通滤波特性越好，用描述函数法分析的精度就越高。

设非线性环节的输入信号为正弦信号

x（t）=Asinωt

则非线性环节的输出信号y（t）是一个非正弦的周期函数。于是，可以将输出y（t）展开成下列的傅里叶级数

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式中，

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当非线性特性斜对称时，有A0=0。若系统的线性部分具有良好的低通滤波特性，y（t）中的高次谐波分量幅值不大而被忽略，可用其基波分量近似表示，则有

y（t）≈y1（t）=A1cosωt+B1sinωt=Y1sin（ωt+φ1）

仿照线性系统频率特性的概念，描述函数定义为非线性环节稳态正弦响应的基波分量与输入正弦信号的复数比，即

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式中，N（A）为描述函数；A为正弦输入信号的幅值；Y1为非线性环节输出信号中基波分量的幅值；φ1为非线性环节输出信号中基波分量的相位移。

在描述函数的定义中，只考虑了利用非线性环节输出中的基波分量来描述其特性，而忽略了高次谐波，这种方法称为谐波线性化。非线性环节的谐波线性化本质上不同于小偏差线性化，谐波线性化得到的描述函数是输入正弦信号幅值的函数，而小偏差线性化得到的线性环节的频率特性与输入正弦信号的幅值无关。若非线性环节不包含储能元件，则描述函数与输入信号的角频率无关，表示为N（A）；若非线性环节包含储能元件，则描述函数就是输入信号的幅值和角频率的函数，记为N（A，ω）。

9.3.2 非线性特性的描述函数

下面介绍几个常见非线性特性的描述函数的求取过程，以便了解求取描述函数的基本方法。

1.饱和特性

饱和特性及其在正弦输入信号x（t）=Asinωt作用下的输入输出波形图如图9-28所示。当A<a时，工作在线性段，没有非线性影响；当A≥a时，才进入非线性区。因此，饱和特性的描述函数，只有在A≥a时才有意义。输出信号y（t）的数学表达式为

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式中，978-7-111-66176-4-Part02-182.jpg。

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图9-28 饱和特性及其输入输出波形

由于饱和特性为单值奇对称特性，其输出是奇函数，故有A0=0，A1=0，φ1=0。由式（9-24c）可求得

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由式（9-25），求得饱和特性的描述函数为

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由式（9-26）可知，饱和特性的描述函数是一个实函数。

2.死区特性的描述函数

死区特性及其在正弦输入信号x（t）=Asinωt作用下的输入-输出波形图如图9-29所示。当A<a时，处于死区之内，输出为零；当A≥a时，输出按斜率为k的线性关系变化。输出信号y（t）的数学表达式为

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式中，978-7-111-66176-4-Part02-187.jpg。

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图9-29 死区特性及其输入-输出波形

由于死区特性为单值奇对称特性，其输出是奇函数，故有A0=0，A1=0，φ1=0。由式（9-24c）可求得

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由式（9-25），求得死区特性的描述函数为

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由式（9-27）可知，死区特性的描述函数是一个实函数。

3.间隙特性

间隙特性及其在正弦输入信号x（t）=Asinωt作用下的输入-输出波形图如图9-30所示。当A<a时，处于间隙之内，输出保持不变；当A≥a时，输入信号在ωt的变化区间0～π/2内，输出按斜率为k的线性关系变化；输入信号在ωt的变化区间π/2～π-α内，输出保持为常值；输入信号在ωt的变化区间π-α～π内，输出按斜率为k的线性关系变化。输出信号y（t）的数学表达式为

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式中，978-7-111-66176-4-Part02-192.jpg。

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图9-30 间隙特性及其输入-输出波形

由于间隙特性为非单值奇对称特性，其输出既非奇函数，也非偶函数，故A1、B1均不为零，但其输出具有正、负半周对称性，直流分量为零，即A0=0。由式（9-24b）、式（9-24c）可求得

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由式（9-25），求得间隙特性的描述函数为

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由式（9-28）可知，间隙特性的描述函数既有实部又有虚部，是一个复函数。

4.继电特性的描述函数

继电特性及其在正弦输入信号x（t）=Asinωt作用下的输入-输出波形图如图9-31所示。输出信号y（t）的数学表达式为

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式中，978-7-111-66176-4-Part02-197.jpg。

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图9-31 继电特性及其输入-输出波形

继电特性的输出具有正、负半周对称性，直流分量为零，即A0=0。由于继电特性为非单值奇对称特性，其输出y（t）既非奇函数，也非偶函数，故A1、B1均不为零。由式（9-24b）、式（9-24c）可求得

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由式（9-25），求得继电特性的描述函数为

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由式（9-29）可知，具有死区和滞环的继电特性的描述函数既有实部又有虚部，是一个复函数。

若令式（9-29）中的a=0，则可得理想继电特性的描述函数为

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若令式（9-29）中的m=1，这时继电器特性的吸合电压与释放电压相等，则可得具有死区而无滞环的继电特性的描述函数为

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若令式（9-29）中的m=-1，则可得具有滞环的继电特性的描述函数为

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非线性特性的种类很多，只要掌握了求描述函数的方法，就可以将其一一求出。表9-2列出了一些常见非线性特性的描述函数。表中所列出的非线性特性都是无储能元件的非线性特性，相应的描述函数只与输入信号的幅值有关，而与输入信号的频率无关，记为N（A）。当非线性特性为单值函数时，描述函数为实函数；当非线性特性为非单值函数时，描述函数为复函数。

表9-2 常见非线性特性的描述函数及负倒描述函数曲线

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9.3.3 非线性控制系统的描述函数法分析

1.非线性系统的等效

应用描述函数法分析非线性系统的条件之一就是可以将非线性系统简化为只有一个非线性环节和线性部分相串联的典型结构形式。当系统由多个非线性环节和多个线性环节构成时，在一些情况下，可通过等效变换，使系统简化为图9-27所示的典型结构。

由于在讨论系统自持振荡及其稳定性时，不需考虑外作用的影响。因此，在进行等效变换时，可以认为所有外作用均为零。

（1）非线性环节的等效

若两个非线性环节的输入相同而输出进行代数叠加，则等效非线性特性为两个非线性环节特性的叠加。例如，死区特性和死区继电特性并联及其等效特性如图9-32所示。两个非线性环节并联的描述函数为相并联的各非线性特性描述函数的代数和，或等于等效非线性特性的描述函数。

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图9-32 非线性特性并联及其等效特性

两个非线性环节相串联时应先求取等效非线性特性。例如，死区特性和死区继电特性串联及其等效特性如图9-33所示，图中，c=a+b/k。两个非线性环节串联的描述函数为相串联后的等效非线性特性的描述函数。

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图9-33 非线性特性串联及其等效特性

应该指出，两个非线性环节相串联，其等效特性还取决于其前后次序。若调换次序，则等效非线性特性也不同。

（2）线性部分的等效

非线性系统如图9-34a所示，按线性系统的等效变换原则，将第一个相加点移到环节G1后与第二个相加点交换位置，系统可等效变换为图9-34b所示形式，再将线性部分简化成一个环节而得到图9-34c所示的典型结构。

2.用描述函数法分析非线性系统的稳定性

若非线性系统经过适当简化后可以得到图9-27所示的典型结构形式，且非线性环节和线性部分满足描述函数法的应用条件，则非线性系统可用图9-35所示的典型结构表示，图中，N（A）为非线性环节的描述函数。于是，非线性系统经过谐波线性化等效为一个线性系统，可以应用线性系统频域法中的奈奎斯特判据分析非线性系统的稳定性。

（1）非线性系统的稳定性分析

用描述函数法分析非线性系统的稳定性，实际上是线性系统中的奈奎斯特判据在非线性系统中的推广。设非线性系统的结构如图9-35所示，则经谐波线性化后系统的闭环频率响应为

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系统在s=jω时的特征方程为

1+N（A）G（jω）=0

即

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式中，-1/N（A）称为非线性特性的负倒描述函数。在同一复平面上画出G（jω）曲线和-1/N（A）曲线，若两条曲线相交，交点对应-1/N（A）的振幅A0及G（jω）的频率ω0就是式（9-33）的解，这意味着在非线性系统中非线性环节的输入信号处存在着频率为ω0、振幅为A0的等幅振荡，即A0sinω0t。若两条曲线不相交，则表明式（9-33）无解。

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图9-35 非线性系统的典型结构图

这种情况相当于在线性系统中，开环频率特性G（jω）穿过其稳定临界点（-1，j0）。在非线性系统的描述函数分析中，负倒描述函数-1/N（A）的轨迹是稳定的临界线。因此可以用G（jω）轨迹和-1/N（A）轨迹之间的相对位置来判别非线性系统的稳定性。

为了判别非线性系统的稳定性，应当首先画出G（jω）和-1/N（A）的轨迹，在G（jω）上标明ω增加的方向，在-1/N（A）上标明A增加的方向。假设非线性系统的线性部分是最小相位环节，所有的零、极点都在s平面左半部分，非线性系统稳定性判断的规则如下：

1）如果线性部分频率特性G（jω）的轨迹不包围-1/N（A）的轨迹，如图9-36a所示，则非线性系统是稳定的。G（jω）离-1/N（A）越远，系统的相对稳定性越好。

2）如果G（jω）的轨迹包围-1/N（A）的轨迹，如图9-36b所示，则非线性系统是不稳定的。不稳定的系统，其响应是发散的。

3）如果G（jω）的轨迹与-1/N（A）的轨迹相交，如图9-36c所示，交点处的频率ω。和振幅A0对应系统中的一个等幅振荡。这个等幅振荡可能是自持振荡，也可能在一定条件下收

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图9-36 非线性系统的稳定性分析

敛或发散。这要根据具体情况分析确定。

（2）自持振荡的确定

G（jω）轨迹与-1/N（A）轨迹相交，即式（9-33）的方程

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有解，方程的解ω和A对应着一个周期运动信号的频率和振幅。只有稳定的周期运动才是非线性系统的自持振荡。

所谓稳定的周期运动，是指系统受到轻微扰动作用偏离原来的运动状态，在扰动消失后，系统的运动又能重新恢复到原来频率和振幅的持续等幅振荡。不稳定的周期运动是指系统一经扰动就由原来的周期运动变为收敛、发散或转移到另一稳定的周期运动状态。

图9-36c中，G（jω）的轨迹与-1/N（A）的轨迹有两个交点A和B，A点处对应的频率和振幅为ωa和Aa，B点处对应的频率和振幅为ωb和Ab。这说明系统中可能产生两个不同频率和振幅的周期运动，这两个周期运动能否持续，是不是自持振荡必须具体分析。

假设系统原来工作在A点，如果受到一个轻微的外界干扰，致使非线性元件输入信号的振幅增加，则工作点沿着-1/N（A）轨迹上振幅增大的方向移到C点，由于C点被G（jω）曲线所包围，系统不稳定，响应是发散的，所以非线性元件输入信号的振幅将增大，工作点沿着-1/N（A）曲线上振幅增大的方向向B点移动。反之，如果系统受到的轻微扰动是使非线性元件输入信号的振幅减小，则工作点将移动到D点。由于D点不被G（jω）曲线包围，系统稳定，响应收敛，振荡越来越弱，振幅逐渐衰减为零。因此，A点对应的周期运动是不稳定的，在A点不产生自持振荡。

若系统原来工作在B点，如果受到一个轻微的外界干扰，使非线性元件输入信号的振幅增大，则工作点由B点移动到E点。由于E点不被G（jω）曲线所包围，系统稳定，响应收敛，工作点将沿着振幅减小的方向又回到B点。反之，如果系统受到轻微扰动使非线性元件输入信号的振幅减小，则工作点将由B点移动到F点。由于F点被G（jω）曲线所包围，系统不稳定，响应发散，振荡加剧，使振幅增加，于是工作点沿着振幅增加的方向又回到B点。这说明B点的周期运动是稳定的，系统在这一点产生自持振荡。自持振荡的频率为ω。，振幅为Ab。

由上面的分析可知，图9-36c所示系统在非线性环节输入端的正弦输入信号的初始振幅满足A<Aa时，系统收敛；当A>Aa时，系统产生自持振荡。自持振荡的频率为ωb，振幅为Ab。系统的稳定性与初始条件及输入信号有关，这正是非线性系统与线性系统的不同之处。

综上所述，如果线性部分是最小相位的，则非线性系统周期运动的稳定性可以这样来判断：在复平面上，将线性部分G（jω）曲线包围-1/N（A）曲线的区域看成是不稳定区域，而不被G（jω）曲线包围的区域看成是稳定区域。当交点处的-1/N（A）曲线沿着振幅A增加的方向由不稳定区进入稳定区，则该交点代表的是稳定的周期运动，即产生自持振荡。反之，交点处的-1/N（A）曲线沿着振幅A增加的方向由稳定区进入不稳定区时，该交点代表的是不稳定的周期运动，不产生自持振荡。

例9-5 设非线性系统如图9-37所示。试求：

1）当K=15时系统自持振荡的振幅和频率；

2）欲使系统不出现自持振荡且稳定地工作，K的最大容许值多大？

解：查表9-2可得饱和特性的描述函数为

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图9-37 例9-5结构图

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由图9-37可知，饱和特性的参数a=1，k=2。于是，负倒描述函数为

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当A=1时，-1/N（A）=-0.5；当A→+∞时，-1/N（A）→-∞。因此，-1/N（A）曲线在负实轴的（-∞，-0.5]上。

系统线性部分的频率特性为

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令Im[G（jω）]=0，即1-0.02ω2=0，得G（jω）曲线与负实轴交点的频率为

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代入Re[G（jω）]中，可求得G（jω）曲线与负实轴的交点为

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1）将K=15代入上式得Re[G（jω）]=-1。根据以上分析绘制出G（jω）曲线和-1/N（A）曲线如图9-38所示，两曲线交于（-1，j0）点。系统的线性部分无右极点，-1/N（A）曲线穿出G（jω）曲线，故交点是自持振荡点。

由式（9-33）可得

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即

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图9-38 例9-5奈奎斯特图

用试算法或作图法解得A=2.47。所以，自振振幅为A=2.47，自振频率为ω=7.07rad/s。这表明，在初始扰动很小时，位于原点的平衡状态是不稳定的。不论初始扰动大小如何，系统将趋于自振工作状态，在饱和环节的输入端存在近似的正弦振荡e（t）≈2.47sin7.07t。

2）欲使系统不出现自持振荡且稳定地工作，而G（s）是最小相位的，根据奈奎斯特判据，应使G（jω）曲线不包围-1/N（A）曲线。那么，G（jω）曲线与负实轴的交点需满足

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故K的最大容许值为Kmax=0.5×15=7.5。

例9-6 分析图9-39所示非线性系统是否存在自振，并确定自振的振幅和频率。

解：由图9-39可知，系统线性部分是非最小相位的（右极点数P=1），其频率特性为

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图9-39 例9-6结构图

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由表9-2可查得滞环继电特性的描述函数为

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式中，M=1，a=0.1。于是，根据G（jω）与N（A）的表达式可绘制G（jω）曲线与-1/N（A）曲线，如图9-40所示.

由图9-40可见，G（jω）曲线与-1/N（A）曲线相交于两点。在点1处，从G（jω）曲线上可求得对应的频率ω1=2.15rad/s，从-1/N（A）曲线上可求得对应的幅值A1=0.49；同理，在点2处从G（jω）曲线与-1/N（A）曲线上可分别求得对应的频率ω2=0.02rad/s和幅值A2=5.09。这两个正弦振荡的稳定性，可应用奈奎斯特判据加以判断.以点1为例，假设由于微小扰动使幅值减小，工作点从点1移至点α1，这时G（jω）曲线不包围点α1（即N=0），故相应的线性化系统不稳定（Z=P-N=1）。振荡幅值将增大，于是工作点返回到点1；同理，若由于微小扰动使幅值增加，工作点从点1移至点β1，这时奈奎斯特曲线逆时针包围点β1一周（即N=1），故相应的线性化系统稳定（Z=P-N=0）。振荡幅值将减小，于是工作点也返回到点1。由此可见，与点1对应的正弦振荡是稳定的。同样，可判断与点2对应的正弦振荡是不稳定的。因此，点1是自持振荡点，点2不是自持振荡点。若滞环继电环节输入端信号的初始幅值A<A2，则在此非线性环节的输入端将存在一个可用正弦信号0.49sin2.15t近似表示的自持振荡；若初始幅值A>A2，则非线性系统发散。

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图9-40 例9-6奈奎斯特图

例9-7 含有间隙特性的非线性系统如图9-41所示，间隙特性的参数为k=0.1，a=0.1，试确定该系统是否产生自持振荡；若产生自持振荡，试确定自振频率和自振振幅。

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图9-41 例9-7结构图

解：1）间隙特性的描述函数为

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对应的负倒描述函数为

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当A=a时，N(A)=0，978-7-111-66176-4-Part02-229.jpg。

当A→∞时，N（A）→k，978-7-111-66176-4-Part02-230.jpg。

若k=0.1，当A→∞时，978-7-111-66176-4-Part02-231.jpg终止于（-10，j0）点。

用描述函数法分析非线性系统时，常把一些非线性特性的k值折算到线性部分中去，这样，相对负倒描述函数-k/N（A）可能起始于（-1，j0）点（如饱和非线性），或终止于（-1，j0）点（如死区、间隙非线性），更便于分析和对比。在计算时可以用a/A为自变量，则相对负倒描述函数是a/A相对值的函数。这样可以使相对负倒描述函数曲线标准化。

间隙特性的相对负倒描述函数为

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它随a/A相对值的变化而改变。间隙特性的相对负倒描述函数曲线不会因为间隙宽度的变化而改变，在一条曲线上就可以分析间隙宽度变化对系统特性的影响。

2）将非线性部分的k值折算到线性部分，则

978-7-111-66176-4-Part02-233.jpg

频率特性

978-7-111-66176-4-Part02-234.jpg

3）绘制出系统的kG（jω）曲线和-k/N（A）曲线如图9-42所示。从图中可以看出kG（jω）曲线与-k/N（A）曲线有一个交点，这个交点是稳定的交点。系统中将产生自持振荡，振荡的频率约为ω=0.27rad/s，相对振幅A/a=3。因为题设a=0.1，所以振幅A=3a=3x0.1=0.3。如果减小间隙宽度，取a=0.05，则自持振荡的频率不变，仍为0.27rad/s。而振幅A=3a=3x0.05=0.15。由此可见，调整间隙的宽度，可以改变自持振荡的振幅：间隙越大，自持振荡的振幅越大；间隙越小，自持振荡的振幅也越小。

4）本例是二阶系统，若没有间隙非线性的存在，当开环增益大于。时，闭环系统总是稳定的。但是由于间隙特性的引入使系统产生了自持振荡。这对于自动控制系统是不希望的。但并不是所有系统的传动装置有一点间隙就一定产生自持振荡，因为系统中的摩擦对振荡有抑制作用。

绘制图9-42的MATLAB程序：prog93.m

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图9-42 例9-7奈奎斯特图

a=0.1;k=0.1;delta=0.005;df=[];nidf=[];A1=[];

for A=a+5*delta:delta:8;

value=1/pi*（pi/2+asin（1-2*a/A）+2*（1-2*a/A）*（a/A*（1-a/A））^0.5）+i*4*a/（pi*A）*（a/A-1）;

df=[df;value];

value=-1/value;

nidf=[nidf;value];

A1=[A1;A];

end

pl0t（real（nidf）,imag（nidf））;

w=0.12:0.01:50;

sys=k*tf（[10]，[10 1 0]）;

[re,im]=nyquist（sys，w）;

hold on;plot（re（:）,im（:））;hold off

grid;

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