本书涵盖的数学思想

本书涉及的数学主题很多，但有几个核心主题。你可以在开始阅读之前注意下面几点。

• 多维空间：你可能对二维（2D）和三维（3D）这两个词的意思有一些直观的了解。我们生活在一个三维世界里，而二维世界是平面的，就像一张纸或一面计算机屏幕。二维世界中的一个具体位置可以用两个数（通常称为坐标和坐标）来描述，而在三维世界中则需要3个数来定位一个位置。我们无法想象一个17维的空间，但可以用包含17个数的列表来描述其中的点。像这样的数字列表被称为向量，向量数学有助于更好地阐述“维度”这一概念。
• 函数空间：有时，一个数字列表可以指定一个函数。举个例子，有两个数和，就可以创建一个形式为的（线性）函数。在这种情况下，函数就是。对于二维空间中的每一个点（表示为坐标），都有一个线性函数与之对应。所以可以把所有线性函数的集合看作一个二维空间。
• 导数和梯度：测量函数变化率的微积分运算。导数可以反映当输入值变大时，函数增大或减小的速度。在三维空间中，函数可能看起来像，当改变或的值时，它的值会增大或减小。把对看作二维空间中的点，也许你会问，在这个二维空间中，朝哪个方向走能使增大得最快。梯度给出了答案。
• 函数优化：对于或这种形式的函数，有一个更宽泛的问题：函数的哪些输入会产生最大的输出？对于，答案是某个值；而对于，答案则是二维空间中的一个点。在二维的情况下，梯度可以帮助我们找到答案。如果梯度告诉我们在某个方向上不断增大，那么朝这个方向前进，就可以找到的最大值。同样，在寻找一个函数的最小值时，类似的策略也适用。
• 用函数预测数据：假设你想预测某个数据，比如某一时刻的股票价格。可以创建一个函数，其输入为时间，输出为价格。衡量函数预测质量的标准是它与实际数据的接近程度。从这个意义上说，寻找预测函数意味着将函数和实际数据之间的误差最小化。要做到这一点，需要探讨函数的一个空间，并找到一个最小值。这就是所谓的回归。

上面这些数学概念很有用，任何人都可以把它们纳入自己的知识储备。即使你对机器学习不感兴趣，这些概念（以及本书中的其他概念）也有很多其他应用。

本书中最让我感到头疼的主题是概率和统计学。概率和量化不确定性的通用概念在机器学习中也很重要。但本书的内容已经足够多了，实在没有空间对这些领域做出有意义的介绍。敬请期待本书的续篇吧。除了本书能够涵盖的内容，还有更多有趣和有用的数学知识，希望能够在未来与你分享。