1.3 轮胎动力学模型介绍
1.3.1 轮胎坐标系及运动参数
SAE制定的标准轮胎运动坐标系为法向坐标下的三维右手正交坐标系。坐标原点为轮胎接地印迹中心，x轴为车轮平面与地面的交线，前进方向为正；y轴为车轮旋转轴线在地面上的投影线，向右为正；z轴垂直于地面，向下为正。同时定义沿x轴、y轴、z轴三个方向的力和绕轴力矩为轮胎六分力，如图1-4所示。
车轮运动参数包括：滑动率s，轮胎侧偏角α以及轮胎径向变形ρ。
轮胎滑动率用于表示车轮相对于纯滚动或纯滑动状态的偏离程度，是影响轮胎纵向力的重要因素之一。对于驱动和制动两种工况，分别定义滑转率s和滑移率sb。驱动时
图1-4 轮胎的运动坐标系
制动时
式中，rd为车轮滚动半径；uw为轮心前进速度；ω为车轮角速度。
车轮滑动率的大小在0～1之间变化，当s=0时，车轮处于纯滚动状态；当s=1时，则处于纯滑动状态。
轮胎侧偏角α为车轮回转平面与车轮中心运动方向的夹角，是影响轮胎侧向力的重要因素之一。若以uw表示轮心前进速度，vw表示轮心的侧向速度，则轮胎侧偏角可表示为
取顺时针方向为正，则根据标准轮胎运动坐标系可知，负的轮胎侧向力将产生正的车轮侧偏角。
轮胎径向变形ρ指车辆行驶过程中遇到路面不平度影响而使轮胎在半径方向上产生变形，定义为无负载时的车轮半径rt与负载时的轮胎半径rd之差，且正的轮胎径向变形将产生负的轮胎法向力Fz。
1.3.2 轮胎模型
轮胎模型用于描述轮胎六分力与车轮运动参数之间的数学关系，可以反映特定工况下轮胎的输入输出间的关系。轮胎模型可分为经验模型和物理模型，前者对轮胎试验数据进行插值、函数拟合得到描述轮胎特性的公式，典型的代表有Gim模型、Fiala模型和SaKai模型；后者则是在分析轮胎与路面作用机理的基础上建模，模拟轮胎在运动参数输入下产生力与力矩的机理和过程，经典的物理模型有弦模型、梁模型、刷子模型等。
“魔术公式”轮胎模型由Pacejka教授提出，以三角函数组合的形式来拟合轮胎试验数据，可同时表达纵向力、侧向力以及回正力矩。其通用表达式为
式中，自变量x为模型输入，可以是轮胎侧偏角α或纵向滑移率s；输出变量y则相应表示侧向力Fy或纵向力Fx，回正力矩Mz可通过计算侧向力及轮胎拖距得出；D为峰值因子，主要影响特性曲线的峰值大小；C为形状因子，主要影响特性曲线的形状；B为刚度因子，主要影响特性曲线的伸展特性；E为曲率因子，主要影响特性曲线峰值部分的曲率大小。
以稳态纯侧向滑移或纯纵向滑移工况为例，作用在车轮上的侧向力、纵向力及回正力矩可表示如下。
轮胎纵向力Fx
其中
式中，κ为纵向滑移率；γ为车轮外倾角；ζ1为权重因子；Fz为车轮垂向载荷；dfz为垂直载荷增量；下标H为水平方向；下标V为垂直方向；λCx、λμx、λEx、λKx、λHx、λVx为纯纵向滑动工况下的权重因子；pCx1、pDx1、pDx2、pDx3、pEx1、pEx2、pEx3、pEx4、pKx1、pKx2、pKx3、pHx1、pHx2、pVx1、pVx2为纵向力特性参数。
轮胎侧向力Fy
其中
式中，α为侧偏角；ζ0、ζ2、ζ3、ζ4为权重因子；Fz0为车轮额定垂向载荷；λFz0、λγy、λCy、λμy、λEy、λKy、λHy、λVy为纯侧偏工况下的权重因子；pCy1、pDy1、pDy2、pDy3、pEy1、pEy2、pEy3、pEy4、pKy1、pKy2、pKy3、pHy1、pHy2、pHy3、pVy1、pVy2、pVy3、pVy4为侧向力特性参数。
轮胎回正力矩Mz
其中
式中，ζ5、ζ6、ζ7为权重因子；λrz、λKy、λμy、λr、λμr为纯侧偏工况下的权重因子；qBz1、qBz2、qDz1、qDz2、qDz3、qDz4为垂向力特性参数。