2.3 药柱装药利用率

如果装药为几个面包围着，爆轰产物也相应地从这些面的法线方向散射出去，这些部分对各指定方向来说，成为该方向的有效部分。在装药附近而面对其有效部分的目标物所遭受的爆炸作用，正是这有效部分爆轰产物的冲击作用。爆轰产物的有效部分的体积和整体装药的体积之比则称为装药的利用率。装药的结构、形状不同，其利用率也不同。

根据瞬时爆轰假说，可以建立EBLSC爆炸分析模型，用来计算聚能方向装药有效部分及其利用率，进而对装药结构参数进行优化设计。

2.3.1 装药爆炸分析模型的建立

建立以椭圆长轴为X轴，短轴为Y轴的直角坐标系。图2-13和图2-14分别给出了装药分析模型图以及产物内部散射面分布见图2-13，设装药的长轴为a，短轴为b，半锥角为α，锥角到装药中心的距离为c。装药起爆后，散射面分布见图2-14的过程一层层向外脱离。这样沿两个方向飞散的爆轰产物在中间相遇形成一个交界面，求解这条曲线便可得出各方向散射的装药量。

2.3.2 聚能方向装药边界函数特点

考虑到对称性，为简化问题，只研究第一象限的情况。

椭圆第一象限函数式为：

直线BG函数式为：y=tanα（x-c）。

设F（x₁，y₁）为椭圆上的点，G（x₂，y₂）为直线BG上的点，则有：。

设A（x₀，y₀）为聚能方向装药有效部分边界上的点，则根据瞬时爆轰假说，该点到椭圆的距离AF和到直线BG的距离AG相等。

将，y₂=tanα（x₂-c）代入上二式，化简得：

另外，AF是过F点的椭圆法线，可以求出AF的斜率：

AF斜率又可以用A、F二点表示为：

并代入k₁和y₁，化简，得：

对于AG，同理可得：

联立式（2-50）、式（2-51）和式（2-52），便得含四个未知数（x₁、x₂、x₀和y₀）三个方程的方程组，理论上可得出A（x₀，y₀）代数函数式，也就是得出EBLSC聚能方向的装药有效部分的边界函数Y=f（X）。

解得函数的自变量X取值区间确定方法如下：

由于X起点值为0，末点值在B点的Xb，即：0≤x₁≤x_B。故关键问题是解交点B值。由于B为椭圆和BG的交点，故可由椭圆和直线交点求得B点：

值得说明的是，由于式（2-53）求解涉及四次以上方程的求解，求出解析解的难度相当大，甚至无法求解。

比较有效的方法是利用最小二乘法进行参数估计进而求解出边界函数方程。

2.3.3 边界函数回归模型参数估计

记自变量为X，因变量为Y，则理论的回归模型可表示为：

式中：e为随机误差，服从正态分布。

当得到自变量及因变量的观测数据后，自然就得到X和X²的数据，于是就得到了3个参数β₀，β₁，β₂的线性模型，本问题就相当于多重线性回归模型了。

研究证明，最小二乘估计为方差最小线性无偏估计，即BLUE（the Best Linear Unbiased Estimate）。因此，系数的β₀，β₁，β₂的估计方法采用的是最小二乘法（method of squares）。

对于第i次观测，在理论模型式（2-54）下，可以认为观测数据满足：

式中：e_i为独立随机误差。

求它的最小值点：

则就是β₀，β₁，β₂的最小二乘估计。由于Q（β₀，β₁，β₂）为β₀，β₁，β₂的非负定的二次型，令Q关于β₀，β₁，β₂的一阶偏导数等于零，就可以求出最小二乘估计。有：

将上述方程组整理后得到“正规方程组”：

通过上式就将问题的求解转换为三元一次方程组的求解。

为计算方便，令：

方程式（2-58）可转换为：

解上述方程组，得：

将n个观测值代入式（2-60），再代入式（2-62）即得参数β₀，β₁，β₂。

2.3.4 聚能方向装药有效部分计算

根据上述求解的边界函数Y=f（X），可求得聚能方向的装药有效部分。装药有效部分计算直角坐标见图2-15（第一象限）。

由图2-15可知，设多边形ODFBK面积为S₁，多边形OCABK面积为S₂，三角形HBK面积为S₃，则有：

聚能方向装药有效部分面积（即4个多边形OCBH）S₀为：

同样，整个装药面积S为：

2.3.5 聚能方向装药利用率计算

EBLSC聚能方向装药利用率η为其有效部分面积与总面积之比，即：

2.3.6 分析计算软件开发

根据上述分析计算原则，利用VB语言编制出了“EBLSC装药有效部分分析软件”，软件界面见图2-16，EBLSC药柱有效部分分析软件源代码见附录5。

该软件由4个窗口2个按键组成，4个窗口为：

（1）结构参数输入窗口。用来输入椭圆断面主要结构参数，包括椭圆长半轴长度、短半轴长度、锥形母线长（顶角距）和锥角四个参数。

（2）计算结果输出窗口。用来输出计算结果（1/4象限），包括总装药量、有效部分装药量和聚能方向装药利用率三个结果。

（3）运算图形输出窗口。用来输出运算图形（1/4象限），包括直角坐标系、装药断面图、有效部分分界线、有效部分边界函数和相关坐标值。

（4）运算过程提示窗口。用来提示运算过程，包括结构参数的输入正确与否判断、运算等待和运算完毕等提示。

二个按键分别为“计算”和“清除”。点击“计算”表示开始计算运算，运算过程提示窗口显示“运算完毕”，则表示计算完成。点击“清除”表示清空“结构参数”中的数值，重新输入数据后可以开始计算。

2.3.7 瞬时爆轰假说应用实例

已知某型EBLSC的结构参数为：a=15，b=11，c=9，α=35°，试求解该装药有效部分的边界线函数及右向聚能装药利用率。

将参数代入式（2-50）、式（2-51）和式（2-52），并化简，得：

由式（2-53）可解得：X_B=14.17，y_B=3.62。

对于区间（0，14.17）内的任一点F的x₁值，通过计算机语言编程可以解得对应的A（x₀，y₀）值，即观测值，将这些观测值代入式（2-60）、式（2-61）和式（2-62）便可得出回归模型的各系数，即：

β₂=-0.0203，β₁=0.3183，β₀=3.2022

于是可以得出观测值的回归模型，即边界函数方程为：

y=-0.0203x²+0.3183x+3.2022（0≤x≤14.17）

利用对称性，可作出全断面装药，见图2-14。

再将相关数值代入式（2-63）等，可解得：

这与采用EBLSC装药有效部分分析软件分析结果完全一样。