§7.5 简单的空间几何体
7.5.1 多面体的概念
定义13 由几个多边形围成的封闭几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个相邻多边形的交线叫做多面体的棱，棱和棱的交点叫做多面体的顶点，不在同一个面内的两个顶点的连线叫做多面体的对角线.
多面体按其面数分类，可分为四面体、五面体、六面体等等，多面体最少应有四个面.常见的多面体有棱柱、棱锥、棱台、拟柱体等.
在一个多面体中，如果有两个面互相平行，而其余每相邻的两个面的交线互相平行，这样的多面体称为棱柱.两个互相平行的面称为棱柱的底面，其余各个面称为棱柱的侧面，侧面与侧面的交线称为棱柱的侧棱，两底面间的距离称为棱柱的高，分别在两个底面内且不在同一侧面内的两个顶点的连线称为棱柱的对角线.所有侧棱均垂直于底面的棱柱称为直棱柱[见图7-30（1）]表示一个直五棱柱ABCDE-A′B′C′D′E′.
侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱[（见图7-30（2）].
图7-30
在一个多面体中，有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共点的三角形，这样的多面体称为棱锥.
图7-31表示的是一个五棱锥，可记作为棱锥V-ABCDE，或记作棱锥V（顶点字母），其中，多边形ABCDE是棱锥的底面，VA、VB…等是棱锥的侧棱，△VAB、△VBC…等是棱锥的侧面，而V是棱锥的顶点，顶点到底面的距离是棱锥的高.
一个棱锥如果被一个平行于底面的平面所截，截面与底面间部分称为棱台，图7-32表示一个由五棱锥截得的五棱台，可记作棱台ABCDE-A1B1C1D1E1.其中，两个平行平面称为棱台的底面，两底面间的距离称为棱台的高，其余各面称为棱台的侧面，相邻两个侧面的交线称为棱台的侧棱.
图7-31
图7-32
常见多面体的定义、主要特征以及计算公式见表7-1.
表7-1 常见多面体的定义、特征和计算公式
续表
在引用此表时要注意：
（1）本表中所列多面体的主要特征，只是正棱柱、正棱锥、正棱台的特征；
（2）计算公式中要分清各字母所代表的意义及计量单位.
【例1】 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面的边长为5cm，侧棱长为6cm，求正四棱柱的全面积及体积.
解 由题意及表7-1，得
P=4×5=20（cm），H=6（cm），
S底=5×5=25（cm2），
所以 S全=2S底+P·H
=2×25+6×20=170（cm2），
V=S·H=25×6=150（cm3）.
【例2】 如图7-33所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，AB=4cm，BC=6cm，高PO=4cm，O为矩形ABCD的中心.求棱锥的侧面积和体积.
解 在棱锥底面ABCD内过O作OE⊥AB交AB于E，作OF⊥BC交BC于F.连接PE、PF.易得OE=3cm，OF=2cm，PE⊥AB，PF⊥BC，在Rt△POE中：
在Rt△POF中，
所以棱锥侧面积和体积分别是
图7-33
7.5.2 多面体直观图的画法
在画多面体的直观图时，多面体的底面为水平平面内的平面图形；而多面体的高要和水平平面互相垂直，而且长度应为实际长度；被遮住部分的线画成虚线或者不画.
以正四棱台为例说明如下（棱柱、棱锥的画法与其类似）：
（1）在同一水平平面内作棱台上下底面的俯视图，使它们中心重合且对应边平行，如图7-34（1）所示；
（2）作上、下底面在水平平面内的直观图，并由上底面各顶点，分别作水平平面的垂线，使其长均等于棱台高的实际长度，得棱台上底面各顶点，顺次连接棱台上底面各点，如图7-34（2）所示；
（3）连接各相关点得到侧棱，把表示棱台的棱以外的线去掉，把被遮住部分的棱画成虚线，即得棱台的直观图，如图7-34（3）所示.
图7-34
7.5.3 多面体计算举例
多面体的计算，除面积和体积外，还有线段及一些角的计算，必须在掌握多面体特征的基础上进行.同时，还应用到直线和直线，直线和平面，平面和平面相互关系的知识.所以它是空间图形综合知识的应用.
【例3】 如图7-35所示，正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为4cm，过BC的一个平面与底面交成30°的二面角，并交侧棱AA1于D.求AD的长及截面△BCD的面积.
图7-35
解 设E为BC的中点，连接AE和DE.
因为△ABC是正三角形，DA⊥平面ABC，所以
AE⊥BC，DE⊥BC，DA⊥AE.
因此∠AED是二面角D-BC-A的平面角，即
∠AED=30°
又AC=4cm，所以
即AD长2cm，截面△BCD面积是8cm2.
【例4】 已知正三棱锥P-ABC的高是H，侧面和底面成60°的二面角.求它的全面积.
解 如图7-36所示，过顶点P作PO垂直于底面，O是垂足，则O是△ABC的中心，连接CO并延长交AB于D，则CD⊥AB.连接PD，则PD⊥AB.所以∠PDC是侧面△PAB和底面△CAB所成的二面角的平面角，即∠PDC=60°.
在Rt△POD中，
图7-36
在△ABC中，
在Rt△BCD中，
所以，正三棱锥的全面积
在正棱锥的计算中，高、斜高及斜高在底面的射影组成的直角三角形和高、侧棱及侧棱在底面的射影组成的直角三角形，起着很重要的作用.
【例5】 粉碎机上的下料斗是正四棱台形，两底面边长分别是80mm和440mm，高是200mm.计算制造这样一个下料斗，其侧面所需铁皮面积是多少m2（精确到0.01m2）？
解 由已知得，四棱台形下料斗侧面所需铁皮面积为
7.5.4 旋转体的概念
定义14 一个平面图形，绕着与它在同一平面内的一条定直线旋转一周，所成的几何体，叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.
常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球.它们的定义、特征及计算公式见表7-2.
表7-2 圆柱、圆锥、圆台、球的定义、特征和计算公式
续表
7.5.5 水平平面内圆的直观图的画法
圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆，所以圆在水平平面内直观图的画法是画旋转体直观图的基础.
在水平平面内作圆的直观圆，方法如下（见图7-37）
图7-37
（1）作边长及一条对角线都等于圆直径的菱形ABCD，且使AC为铅直线.
（2）作菱形四边的中点E、F、G和H，连接CE、CH、AF和AG，AF与CE交于P1，AG与CH交于P2；
（3）以A为圆心，AF为半径画弧FG；以C为圆心，CE为半径画弧EH，以P1为圆心，P1E的半径画弧EF，以P2为圆心，P2H为半径画弧GH.这四段弧组成的图形就是要作的圆在水平平面内的直观图.
画圆柱、圆锥、圆台的直观图时，只要注意它们的底面都是水平平面内的圆，而它们的高应画成实际长度即可.
【例6】 高和底圆直径相等的圆柱叫做等边圆柱.求高为H的等边圆柱的全面积.
解 由已知，得圆柱底半径
，所以圆柱全面积是
【例7】 圆锥底面半径为R，母线长为L，侧面展开扇形圆心角为θ.求证
.
图7-38
证 如图7-38所示，由题意，得
AB=2πR.
又
，
所以 
.即 
.
7.5.6 旋转体的轴截面
定义15 过旋转体轴的平面，与旋转体相交得到的图形叫做旋转体的轴截面.
圆柱的轴截面是无穷多个过轴的矩形；圆锥的轴截面是无穷多个过轴的等腰三角形；圆台的轴截面是无穷多个过轴的等腰梯形；球的轴截面是过球心的球大圆.
【例8】 圆台高1cm它的一底的直径为另一底直径的两倍，母线与大底成45°的角.求此圆台的体积.
解 作圆台的轴截面（见图7-39），其中，O、O1分别为上、下底面圆心，则OO1=1，过D作DE⊥AB交AB于E，则∠DAE=45°，所以
AE=DE=OO1=1.
又AB=2DC，所以
AE+EO1=2DO=2EO1，
EO1=AE=1，DO=1.
因此，圆台的体积是
【例9】 轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥，一等边圆锥高为H，求它的体积及全面积.
解 作轴截面（见图7-40），则△PAB为正三角形，PO=H，设圆锥底面半径为R，母线为l，则
所以，圆锥的体积和全面积分别是
图7-39
图7-40
【例10】 在一球心的同侧有两个相距9cm的互相平行的球的截面，其面积分别为49πcm2和400πcm2.求这个球的面积.
解 作与两平行截面垂直的球的轴截面图（见图7-41）.
设球半径为R，两平行截面的半径分别为R1和R2.由题设，得
图7-41
所以R1=7，R2=20.
过球心O作OO1⊥AA1，分别交AA1和BB1于O1和O2，则
O1A=R1=7，O2B=R2=20.
在Rt△AO1O中，
在Rt△BO2O中，
又O1O2=OO1-OO2，所以
解之得R=25.
所以球面积是S=4πR2=4π·252=2500π（cm2）
练习
1.正六棱锥的底面边长为2，高为3，求体积.
2.一个锥角为30°，高为h的圆锥形容器.当液面高为多少时液体体积为该容器容积的一半？
3.把直径为10cm的铁球熔化后，做成直径为1cm的小铁球，共可做多少个？求出每个小铁球的体积.
习题7-5
1.直四棱柱底面为菱形，高为3cm底面两条对角线长分别为8cm和6cm，求棱柱的全面积.
2.正三棱锥高3cm，侧棱与底面成60°的角，求棱锥的全面积.（精确到1cm2）
3.一个正四棱台的两个底面边长分别为8cm和6cm，它的侧面与较大的底面成60°的倾角.求棱台的全面积.
4.正六棱柱最长的对角线为13cm，侧棱为5cm，求棱柱侧面积.
5.正四棱锥高为14cm，底面边长16cm，求侧棱长.
6.圆柱高为H，它的侧面展开图中，母线和对角线夹角为60°.求这个圆柱的体积.
7.一球内切于母线长为l的等边圆锥，求这个球的体积.
8.一圆锥侧面积为136πcm2，母线长等于17cm，求圆锥的高.
9.圆台两个底面半径分别为3cm和7cm，母线长5cm，求它的轴截面的面积.
10.球的一个截面面积为144πcm2，该截面到球心距离为9cm，求这个球的表面积及它的大圆面积.