1.2.6　等价关系与划分

定义1.10　设R是X上的关系，若∀x∈X，有xRx，即χ

_R（x，x）=1，则称R是自反的。

∀x，y∈X，若xRy⇒yRx，即χ_R（x，y）=χ_R（y，x），则称R是对称的。

∀x，y，z∈X，若xRy，yRz⇒xRz，即χ_R（x，y）=1，χ_R（y，z）=1，χ_R（x，z）=1，则称R是传递的。

设N为自然数集，N上的关系“<”具有传递性，但不具有自反性和对称性。

设P（X）为X的幂集，P（X）上的关系“⊆”具有自反性和传递性，但不具有对称性。

为了将集合的元素进行分类，下面引进一个重要的关系——等价关系。

定义1.11　设集合X上的二元关系R具有自反性、对称性和传递性，则称R是X上的等价关系，此时xRy又称为x等价于y，记为x≅y。

比如，“同龄关系”，数学上的“=”都是等价关系，而朋友关系不是等价关系，因为它不具有传递性。

集合X上的等价关系的重要性在于可以将集合X分成适当的子集（实际上就是将集合X进行分类），为此又引进下面的定义。

定义1.12　设X是非空集，X_i是X的一些非空子集，若∪X_i=X，且X_i∩X_j=∅（i≠j），则称集合族 {…，X_i…}为X的一个划分，称集X_i为这个划分的一个类（i∈I，I为指标集），以∏表示划分，即为

∏= {X_i|X_i⊆X，且∀x∈X恰属于X_i}。

划分∏的每一个元素称为一个块，也称为划分的一个类。

当划分的块数为有限时，划分∏也可表示为

∏={X₁，X₂，…，X_n}，n为块数。

显然，对有限集而言，它的划分块数一定是有限的。

例1.9　设X={1，2，3，4}，则∏₁={{1}，{2}，{3}，{4}}，∏₂={{1，2}，{3}，{4}}，∏3={{1，2，3}，{4}}，∏4={{1，2}，{3，4}}，∏5={{1，2，3，4}}等都是X的划分，但∏'={{1}，{2，3}}，∏″={{1}，{2，3}，{2，4}}等不是X的划分。

下面的定理说明了集合X上的等价关系与划分（即分类）之间的联系。

定理　集合X上的任一等价关系可以确定X的一个划分（即分类）；反过来，集合X的任一划分（即分类）可以确定X上的一个等价关系。

例1.10　设论域X= {某高校全体本科生（四年制）}，在X上定义了R₁=“同年级关系”，显然“同年级关系”是一个等价关系。因此，关系R₁把X划分为四个不同的年级：X={X₁，X_2，X₃，X₄}，其中X_i表示i年级，i=1，2，3，4。这就表明，论域X上的等价关系R₁（同年级关系）可以确定一个划分（分类）：X={X₁，X_2，X₃，X₄}。

例1.11　设论域X= {某高校学生}，在论域X上有一个划分（分类）：X={男生，女生}={Y₁，Y₂}，因为这个划分是按性别划的，所以这个划分可以确定X上的一个关系R₂=“同性别关系”。显然，“同性别关系”=R₂是一个等价关系。

定义1.13　设R是集合X上的关系，若关系R是自反的、对称的，则称R是相似关系。

例如朋友关系、同学关系都是相似关系。

与等价关系一样，相似关系的应用也是非常广泛的。