9.3　名校考研真题详解

一、判断题

1．若对任意的自然数p都有，则收敛．（　　）[东南大学研]

【答案】错

【解析】根据级数收敛的Cauchy收敛准则，举出反例：例如，对任意的自然数p，有

，但是发散．正确的说法应该是，关于p一致有

．

2．若，且对任意的n，有，则收敛．（　　）[重庆大学研]

【答案】错

【解析】举反例：例如，虽然对任意的n，有，但是发散．n必须足够大，才可以成立．

二、解答题

1．设收敛，证明：[华东师范大学研]

证明：记级数的前n项和S_n．则

对上式两边取极限，从而

即

2．证明下列级数收敛．

[东北师范大学研]

证明：（1）方法一

所以

所以收敛．

方法二

由于

所以

而收敛，从而收敛．

（2）

由比值判别法知收敛，再由比较判别法知收敛，即收敛．

3．证明：[浙江大学研]

证明：因为且单调减，

所以

反复利用分部积分法，

又

所以

将②代入①得

4．讨论级数的敛散性．[复旦大学研]

解：（1）若p、q＞1，则

绝对收敛．

（因为，例如p＞q，则为优级数）；

（2）若0＜p=q≤1，应用莱布尼兹定理知级数收敛，且是条件收敛；

（3）当p、q＞0，原级数与级数同时敛散，若p＞1，0＜q≤1或q＞1，0＜p≤1时级数一敛一散，故原级数发散．

若0＜p＜q＜1，则，且与同阶（当）；故级数

发散，从而原级数发散．

同理可证，若0＜q＜p＜1，原级数发散．

5．若一般项级数与都收敛且下列不等式成立

证明：级数也收敛．又若与都发散，试问一定发散吗？[汕头大学研、北京工业大学研]

证明：由于级数与都收敛，所以由Cauchy收敛准则知对任意的ε＞0，存在N∈N，使得当n＞N及对任意的正整数p，都有

又，所以，从而由Cauchy收敛准则知级数也收敛．

若与都发散，不一定发散．反例：．

6．设，证明：收敛．[浙江大学2006研]

证明：因为

令，则

易知，所以

因为，而收敛，所以收敛．

7．设，举例说明存在（从而级数收敛），但，从而级数收敛的D’Alember判别法失效．[天津工业大学2006研]

解：级数．由于

故，所以用D’Alember判别法无法判别其敛散性．又

，所以由根式判别法知收敛．

8．判断级数的敛散性．[青岛科技大学研]

解：令，则

故由Raabe判别法知收敛．

9．设f（x）在[1，＋∞）上单调，证明：若广义积分收敛，则级数也收敛．[北京化工大学研]

证明：不妨设f（x）在[1，＋∞）上单调递减．先证明f（x）在[1，＋∞）上非负，若存在，使得．

由于当时，，又发散，故由比较判别法知发散，矛盾，所以f（x）在[1，＋∞）上非负．

因为f（x）在[1，＋∞）上非负且单调递减，对任意的正数A，f（x）在[1，A]上可积，从而有

依次相加可得

由于收敛，于是对任意正整数m，有

即非负级数部分和有界，故收敛．

10．设是严格递减的正数列，且，证明：级数收敛．[南京农业大学研、上海理工大学研]

证明：因为是严格递减的正数列，所以

即是严格递减的数列．又由极限的性质知

故由Leibniz判别法知收敛．

11．讨论级数的收敛性．[厦门大学研]

解：利用带Peano余项的Taylor公式（当x→0时），有

于是．所以当x＞1－p时收敛，当x≤1－p时发散．

12．，证明：存在，并求之．[上海大学研]

证明：令，则

从而

因为，所以

故有

13．求级数的和.[浙江师范大学2005研]

解：因，故

为了求，作，

则

于是

因此，原式．

14．判断级数的绝对收敛性和相对收敛性．[武汉大学2005研]

解：（1）绝对收敛性（主要使用放缩法）

（2）相对收敛性：（A-D判别法）

①；

②．

15．表格填空

[中山大学2014研]

解：