2.4 信号的相和相位
一、概述
前面讲解正弦波时，提到了正弦波的表达式：
s(t)=Asin(2πft+φ)
并指出其中φ是初相。
其实还有一点没有讲，那就是正弦波在t时刻的相位：
假设：
A=1，φ=π/4，f=1Hz
则该正弦波的表达式为：
s(t)=sin(2πt+π/4)
该正弦波的波形如图2-22所示。
波形画出来很容易，可是如何理解相位和初相呢？如何从这张波形图中看出初相是多少，某时刻的相位又是多少呢？
图2-22 正弦波的波形
下面先从英文单词Phase讲起。
二、什么是Phase
Phase这个英文单词在物理学中有以下两种含义。
第一种：相，有规律的循环变化周期中的一个特定现象或状态。
a particular appearance or state in a regularly recurring cycle of changes.
第二种：相位，从指定参考点开始测量的完整周期已经过去的部分，通常用角表示，所以又被称为相角。
The fraction of a complete cycle elapsed as measured from a specified reference point and often expressed as an angle.
由此可见，虽然相和相位在英文中对应同一个单词，在中文中也只差一个字，但是它们的含义是完全不同的。
三、月亮的相和相位
下面以月亮为例，来看看什么是“相”和“相位”。
1．月亮的相
月相是天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼。月球绕地球运动，使太阳、地球、月球三者的相对位置在一个月中有规律地周期变动，因此月相也就有了周期性的变化，如图2-23所示。
图2-23 月相的变化
注意：月相不是由于地球遮住太阳所造成的（这是月食），而是由于我们在地球上只能看到月球上被太阳照到发光的那一部分所造成的，其阴影部分是月球自己的阴暗面。
月球位于特定位置的月相有专门的名称，如图2-24所示。
2．月亮的相位
根据前面的定义，相位是从指定参考点开始测量的完整周期已经过去的部分。
月相周期为30天，特定位置月亮的相位可以用月历来表示。我国古代把月亮称为太阴，因此月历又被称为阴历。阴历初一到三十的月相图如图2-25所示。
图2-24 月球位于特定位置的月相名称
图2-25 阴历初一到三十的月相图
以阴历十五为例。月相为满月，刚好位于月相周期（30天）一半的位置，该月相对应的相位为阴历十五。
四、什么是相
与月相类似，通信系统中使用“相”来描述正弦波的状态：随着时间的推移，正弦波的幅值从零变到最大值，从最大值变到零，又从零变到负的最大值，从负的最大值变到零……不断循环，如图2-26所示。
图2-26 正弦波的状态变化
正弦波在特定时刻所处的特定状态，例如：幅值是正的还是负的，是在增大的过程中还是在减小的过程中，等等，就是正弦波在这一时刻的“相”。
以图2-27中的A点和B点为例。
图2-27 正弦波在特定时刻的特定状态
这两个特定点所处的状态不同：
- A点幅值为正，B点幅值为负；
- A点处在增大过程中，B点处在减小过程中。
因此，A点和B点对应的“相”是不同的。
五、什么是相位
相位：是指对于一个正弦波，特定的时刻在它循环中的位置：波峰、波谷或它们之间的某点。相位通常用角表示，因此也称作相角。一个循环是360°。
以图2-28所示的正弦波为例：某时刻相位为90°就意味着该时刻正弦波处于波峰位置，270°就意味着处于波谷位置，450°就意味着处于波峰位置。
图2-28 正弦波在特定时刻的相位
1．如何确定零相位
表面上看上面描述清楚了相位，但实际上还不清楚。因为正弦波是周期信号，到底哪个波峰的相位算90°，哪个波谷的相位算270°？还没说清楚。说不清楚的原因归根结底在于零相位没有明确。
做如下约定：
起始点离t=0时刻最近的那个完整周期的起始点相位为零。
注意其中的完整周期：正弦信号和余弦信号的完整周期是不同的。对于正弦信号来讲，在f>0和f<0情况下的完整周期也是不同的。
f>0时，正弦信号的一个完整周期如图2-29所示。
f<0时，正弦信号的一个完整周期如图2-30所示。
余弦信号的一个完整周期如图2-31所示。
图2-29 正弦信号的一个完整周期（f>0）
图2-30 正弦信号的一个完整周期（f<0）
图2-31 余弦信号的一个完整周期
以图2-32中这个波形为例。
图2-32 波形举例
如果这个波形是频率大于零的正弦波，则其零相位点如图2-33所示。
图2-33 频率大于零的正弦波零相位点
如果这个波形是频率小于零的正弦波，则其零相位点如图2-34所示。
如果这个波形是个余弦波，则其零相位点如图2-35所示。
图2-34 频率小于零的正弦波零相位点
图2-35 余弦波零相位点
2．如何理解正相位和负相位
1）相位的正负
零相位点确定之后，波形上其他点的相位就确定了，相位的正负规定如下所述。
f>0：沿时间轴正方向，相位逐渐增大，如图2-36所示。
- 零相位点右侧波形上各点的相位为正；
- 零相位点左侧波形上各点的相位为负。
f<0：沿时间轴正方向，相位逐渐减小，如图2-37所示。
- 零相位点左侧波形上各点的相位为正；
- 零相位点右侧波形上各点的相位为负。
图2-36 正相位和负相位（频率大于0）
图2-37 正相位和负相位（频率小于0）
2）相位的取值
相位的值取决于该点和零相位点之间的距离：
- 距离为1个周期时，相位为360°；
- 距离为n个周期时，相位为360n°；
- 距离为1/2个周期时，相位为180°；
- 距离为1/4个周期时，相位为90°。
以此类推。
以图2-38中这个频率大于零的正弦波为例，距离零相位点半个周期的右侧那个点的相位是180°，距离零相位点半个周期的左侧那个点的相位是-180°。
图2-38 频率大于零的正弦波相位
以图2-39中这个频率小于零的正弦波为例，距离零相位点半个周期的右侧那个点的相位是-180°，距离零相位点半个周期的左侧那个点的相位是180°。
图2-39 频率小于零的正弦波相位
3．如何理解初始相位
零相位、正负相位都清楚了，下面看一下什么是初始相位。
初始相位就是指t=0时刻的相位。
由于选取零相位点时，选择了离t=0时刻最近的那个完整周期的起始点，因此t=0时刻的相位绝对值不会大于180°，即：|φ|≤180°。
以图2-40中这个频率大于零的正弦波为例，其初始相位为45°。
图2-40 频率大于零的正弦波初始相位
以图2-41中这个频率小于零的正弦波为例，其初始相位为135°。
图2-41 频率小于零的正弦波初始相位
通过上面的介绍，大家应该对相和相位有了初步认识。
下面我们利用旋转向量来进一步深入理解一下相位。
4．利用旋转向量理解相位
正弦波：s(t)=Asin(2πft+φ)
该正弦波可以看成是一个长度为A、角速度为ω=2πf、围绕原点旋转的向量在虚轴上的投影。
相位和初相要分4种情况。
1）频率大于零且初相大于等于零
如图2-42所示：ω>0，旋转向量逆时针旋转。
0时刻：旋转向量所在位置如虚线向量所示，φ就是初相：0≤φ≤π。
t0时刻：旋转向量所在位置如实线向量所示，ωt0+φ就是t0时刻的相位。
2）频率大于零且初相小于零
如图2-43所示：ω>0，旋转向量逆时针旋转。
0时刻：旋转向量所在位置如虚线向量所示，φ就是初相：-π<φ<0。
t0时刻：旋转向量所在位置如实线向量所示，ωt0+φ就是t0时刻的相位。
图2-42 正弦波的初相和相位（频率大于0，初相大于等于0）
图2-43 正弦波的初相和相位（频率大于0，初相小于0）
3）频率小于零且初相大于等于零
如图2-44所示：ω<0，旋转向量顺时针旋转。
0时刻：旋转向量所在位置如虚线向量所示，φ就是初相：0≤φ≤π。
t0时刻：旋转向量所在位置如实线向量所示，ωt0+φ就是t0时刻的相位。
4）频率小于零且初相小于零
如图2-45所示：ω<0，旋转向量顺时针旋转。
0时刻：旋转向量所在位置如虚线向量所示，φ就是初相：-π<φ<0。
t0时刻：旋转向量所在位置如实线向量所示，ωt0+φ就是t0时刻的相位。
图2-44 正弦波的初相和相位（频率小于0，初相大于等于0）
图2-45 正弦波的初相和相位（频率小于0，初相小于0）
六、什么是相位差
两个同频信号的相位之差就是相位差。
注意：当我们说相位差的时候，已经隐含了两个信号频率相同的意思。
两个同频信号：
s1(t)=A1sin(2πft+φ1)
s2(t)=A2sin(2πft+φ2)
相位差：
∆φ=(2πft+φ1)-(2πft+φ2)=φ1-φ2
也就是说：两个同频信号的相位差就等于初相之差，如图2-46所示。
图2-46 相位差等于初相之差
以图2-47所示的三相交流电为例：
虚线波形的初相为2π/3，实线波形初相为0，点划线波形初相为-2π/3。
虚线波形和实线波形的相位差为：2π/3-0=2π/3。
实线波形和点划线波形的相位差为：0-(-2π/3)=2π/3。
虚线波形和点划线波形的相位差为：2π/3-(-2π/3)=4π/3。
图2-47 三相交流电波形
当两个同频信号的相位差取某些特定的值时，这两个同频信号的相之间具有特定的关系，因此被赋予了特定的名称。
1．相位差为0
当两个同频信号之间的相位差为0时，这两个信号对应的旋转向量每时每刻方向都相同，如图2-48所示。
图2-48 两个同相信号对应的旋转向量
这两个信号每时每刻的“相”都相同，如图2-49所示，因此我们称这两个信号“同相”。
图2-49 两个同相信号的波形
而所谓“相”相同，就是指任意时刻两个信号的状态都是相同的：
- 一个取值为正，另一个取值也为正；一个取值为负，另一个取值也为负。
- 一个处在增大过程中，另一个也处在增大过程中；一个处在减小过程中，另一个也处在减小过程中。
2．相位差为±π
当两个信号之间的相位差为±π时，这两个信号对应的旋转向量每时每刻方向都相反，如图2-50所示。
图2-50 两个反相信号对应的旋转向量
这两个信号每时每刻的“相”都相反，如图2-51所示，因此我们称这两个信号“反相”。
图2-51 两个反相信号的波形
而所谓“相”相反，就是指任意时刻两个信号的状态都是相反的：
- 一个取值为正，另一个取值必为负；一个取值为负，另一个取值必为正。
- 一个处在增大过程中，另一个必处在减小过程中；一个处在减小过程中，另一个必处在增大过程中。
3．相位差为±π/2
当两个信号之间的相位差为±π/2时，对应的两个旋转向量每时每刻方向都垂直，如图2-52所示。因此我们称这两个信号“正交”。
图2-52 两个正交信号对应的旋转向量
这两个正交信号的波形如图2-53所示，很明显正交信号波形具有如下规律：当一个取值达到正的最大值或负的最大值时，另一个取值必为零。
图2-53 两个正交信号的波形
4．超前和滞后
1）相位差绝对值小于π
当两个信号对应的旋转向量在0时刻的位置如图2-54所示时，我们称信号S1超前信号S2，或者称信号S2滞后信号S1。
图2-54 超前和滞后向量图（相位差绝对值小于π）
这两个信号的波形如图2-55所示。
图2-55 超前和滞后波形图（相位差绝对值小于π）
2）相位差绝对值大于π
当两个信号对应的旋转向量在0时刻的位置如图2-56所示时，我们称信号S2超前信号S1，或者称信号S1滞后信号S2。
图2-56 超前和滞后向量图（相位差绝对值大于π）
这两个信号的波形如图2-57所示。
图2-57 超前和滞后波形图（相位差绝对值大于π）
七、波的干涉
前面研究了两个同频且具有恒定相位差的正弦波信号波形之间的联系，如果两个同频且具有恒定相位差的正弦波信号在同一点相遇会发生什么情况呢？
1．概述
位于A点和B点的波源同时发出同频同相的正弦波：
s(t)=Asin(2πft+φ)
由于各个位置的点到两个波源的距离不同，接收到的来自两个波源的信号存在相位差。
如图2-58所示，P点到A点的距离为d1，到B点的距离为d2。
图2-58 各个位置的点到两个波源的距离不同
P点接收到的来自2个波源的信号：
令
则
s1(t)=A1sin(2πft+φ1)
s2(t)=A2sin(2πft+φ1+∆φ)
这两个信号具有恒定的相位差，如图2-59所示。
叠加：s(t)=A1sin(2πft+φ1)+A2sin(2πft+φ1+∆φ)
对应的向量合成图如图2-60所示。
合成向量的旋转角速度不变，向量的长度与两个信号的相位差有关：
图2-59 P点接收到的来自2个波源信号的向量图
图2-60 向量合成图
其中：
归根结底向量的长度与P点到两个波源的距离差和信号频率有关。
因此各个位置合成信号的幅度各不相同，在某些位置合成信号幅度大，在另一些位置合成信号幅度小甚至幅度为0，而且合成信号幅度大的区域和幅度小的区域相互隔开，这种现象称为波的干涉，如图2-61所示。
图2-61 波的干涉现象
产生相干现象的波叫相干波。
波的相干条件：频率相同，相位差恒定，振动方向相同。
不论是光波、水波还是电磁波，只要是波，而且满足相干条件，都会产生干涉现象。
2．相长干涉
如图2-62所示，P1点到A点的距离：d1=8λ，到B点的距离：d2=6λ。
图2-62 同频同相正弦波叠加
两个正弦波到达P1点时，刚好同相：
P1点的波形：
s(t)=s1(t)+s2(t)=(A1+A2)sin(2πft+φ)
正弦波的幅度是来自两个波源的正弦波的幅度之和。
接收到的两个波源信号正好同相，合成信号幅度等于二者幅度之和，这种情况被称为相长干涉。
3．相消干涉
如图2-63所示，P2点到A点的距离：d1=6.5λ，到B点的距离：d2=2λ。
图2-63 同频反相正弦波叠加
两个正弦波到达P2点时，刚好反相：
P2点的波形：
s(t)=s1(t)+s2(t)=(A2-A1)sin(2πft+φ)
正弦波的幅度是来自2个波源的正弦波的幅度之差。
接收到的两个波源信号正好反相，合成信号幅度等于二者幅度之差，这种情况被称为相消干涉。