3.2 端点间二次样条的构建

在两个路点之间生成曲线，并且要求两个路点可以自由控制位置和朝向（切线方向）时，使用单一的一段二次曲线会遇到自由度不够的问题。这里构造了如下两条拼接的二次曲线来解决这个问题（见图3.1）。

给定起点P0、起点切线T0、终点P1和终点切线T1，有二次曲线f1(t)和f2(t)，令其满足如下条件：

对于f1(1)和f2(0)，假设有一动点Pm，在该点处曲线满足：

从而可以得到两条曲线的系数方程组：

该方程组的解为

则有

可以看到，最终动点Pm不会出现在方程中，它为隐含的点，对外部是透明的。为了将分段曲线当作一段曲线使用，还需要将两段子曲线的参数t归一化到统一的[0,1]范围内。令为参数t归一化后的分段二次曲线，有,。这里使用每段子曲线占拼接曲线的比例来归一化曲线参数。设L1、L2分别为曲线和的长度，则有

类似的，也可以得到曲线的长度方程，由子曲线长度方程和表示的归一化方程：

为此需要计算曲线f1(t)和f2(t)的曲线段和的长度。对于二次曲线而言，曲线的线积分有解析解（分部积分）：

其中：

这些系数可以离线预计算好（静态路径），或者在运行时初始化曲线的时候计算（动态构建路径）。该公式较为复杂，但是多用于曲线归一化的预处理过程中。如果进一步完成了曲线的弧长参数化，将会使用更为简单的线性长度计算。