1.2.1　数制

1.数制的概念

数制又称进位计数制，是指用统一的符号规则来表示数值的方法，它有3个基本术语：

①数符：用不同的数字符号来表示一种数制的数值，这些数字符号称为“数符”。

②基数：数制所允许使用的数符个数称为“基数”。

③权值：某数制中每一位所对应的单位值称为“权值”，或称“位权值”，简称“权”。

在进位计数制中，使用数符的组合形成多位数，按基数来进位、借位，用权值来计数。一个多位数可以表示为

式中，i为某一位的位序号；Ai为i位上的一个数符，0≤Ai≤R-1，如十进制有0、1、2……8、9共10个数符；R为基数，将基数为R的数称为R进制数，如十进制的R为10；m为小数部分最低位序号；n为整数部分最高位序号（整数部分的实际位序号是从0开始，因此整数部分为n+1位）。

式（1-1）将一个数表示为多项式，也称为数的多项式表示。例如，十进制数786，它可以根据式（1-1）表示为786=7×102+8×101+6×100，等式的左边为顺序计数，右边则为按式（1-1）的多项式表示。实际上把任何进制的数按式（1-1）展开求和就得到了它对应的十进制数，所以式（1-1）也是不同进制数之间相互转换的基础。

由此，可以将进位计数制的基本特点归纳为：

①一个R进制的数有R个数符。

②最小的数符为0，最大的数符为R-1。

③计数规则为“逢R进1，借1当R”。

2.常用数制

在日常生活中，人们通常使用十进制数，但实际上存在着多种进位计数制，如二进制（2只手为1双手）、十二进制（12个信封为1打信封）、十六进制（成语“半斤八两”，中国古代计重体制，1斤=16两）、二十四进制（1天有24小时）、六十进制（60秒为1分钟，60分钟为1小时）等。在计算机内部，一切信息的存储、处理与传输均采用二进制的形式，但由于二进制数的阅读和书写很不方便，因此在阅读和书写时又通常采用八进制数和十六进制数来表示。表1-2列出了常用的进位计数制。

（1）十进制

十进制（Decimal System）有0～9共10个数符，基数为10，权系数为10i（i为整数），计数规则为“逢10进1，借1当10”。对十进制的特点我们非常熟悉，因此不再详细介绍。

（2）二进制

二进制（Binary System）是计算机内部采用的数制。二进制有两个数符0和1，基数为2，权系数为2i（i为整数），计数规则为“逢2进1，借1当2”。一个二进制数可以使用式（1-1）展开，例如：

（10101101）2=1×27+0×26+1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20

（3）八进制

八进制（Octal System）有8个数符，分别用0、1、2、3、4、5、6、7共8个数符表示，基数为8，权系数为8i（i为整数），计数规则是“逢8进1，借1当8”。由于8=23，因此1位八进制数对应于3位二进制数。一个八进制数可以使用式（1-1）展开，例如：

（753.64）8=7×82+5×81+3×80+6×8-1+4×8-2

（4）十六进制

十六进制（Hexadecimal System）有16个数符，分别用0、1……9、A、B、C、D、E、F表示，其中A、B、C、D、E、F分别对应十进制的10、11、12、13、14、15。十六进制的基数为16，权系数为16i（i为整数），计数规则是“逢16进1，借1当16”。由于16=24，因此1位十六进制数对应于4位二进制数。一个十六进制数可以使用式（1-1）展开，例如：

（3EC.B9）16=3×162+14×161+12×160+11×16-1+9×16-2

注意：为了区分不同进制的数，我们在数字（外加括号）的右下角加脚注10、2、8、16分别表示十进制、二进制、八进制和十六进制。或将D、B、O、H4个字母放在数的末尾以区分上述4种进制。例如，256D或256表示十进制数，1001B表示二进制数，427O表示八进制数，4B7FH表示十六进制数。

3.计算机采用二进制的原因

人们日常使用的是十进制，但是由于技术上的原因，计算机内部一律采用二进制表示数据和信息，选择二进制的主要原因是：

（1）二进制容易被物理器件所实现

例如，开关的两个状态（ON/OFF）可以用来表示二进制两个数符0和1，一个二极管的截止和导通也能够与二进制状态对应。

（2）二进制数可靠性高

两种状态表示二进制两个数符，数字传输和处理不容易出错，电路工作可靠，抗干扰能力强。

（3）二进制运算规则简单

例如，二进制的加法法则只有3个，乘法法则也只有3个，简化了计算机内部器件的电路，提高了机器运算的速度。

（4）二进制逻辑性强

计算机工作原理是建立在逻辑运算基础上的，逻辑代数是逻辑运算的理论依据。二进制只有两个数符0和1，正好代表逻辑代数中的“真”和“假”。

4.二进制的运算规则

二进制运算有算术运算、逻辑运算和移位运算等，这里主要介绍加法、乘法和逻辑运算。

（1）加法运算规则

0+0=0，0+1=1，1+1=10

注意：1+1=10，等号右边10中的1是进位。

（2）乘法运算规则

0×0=0，0×1=0，1×1=1

【例1-1】计算10110101+10011010的值。

【例1-2】计算1101×110的值。

（3）逻辑运算规则

二进制数1和0在逻辑上可以代表“真”与“假”、“是”与“否”、“有”与“无”。这种具有逻辑属性的变量称为逻辑变量。计算机的逻辑运算和算术运算的主要区别是：逻辑运算是按位进行的，位与位之间不像加减运算那样有进位或借位的联系。逻辑运算主要包括3种基本运算：逻辑加法（又称“或”运算）、逻辑乘法（又称“与”运算）和逻辑否定（又称“非”运算）。此外，“异或”运算也很有用。

①逻辑加法（“或”运算）。逻辑加法通常用符号“+”或“∨”来表示。逻辑加法运算规则如下：

0+0=00∨0=0；0+1=10∨1=1；1+0=11∨0=1；1+1=11∨1=1。

可以看出，逻辑加法有“或”的意义。也就是说，在给定的逻辑变量中，A或B只要有一个为1，其逻辑加的结果为1；两者都为1则逻辑加的结果为1。

②逻辑乘法（“与”运算）。逻辑乘法通常用符号“×”或“∧”或“·”来表示。逻辑乘法运算规则如下：

0×0=00∧0=00·0=0；0×1=00∧1=00·1=0；

1×0=01∧0=01·0=0；1×1=11∧1=11·1=1。

不难看出，逻辑乘法有“与”的意义。它表示只当参与运算的逻辑变量都同时取值为1时，其逻辑乘积才等于1。

③逻辑否定（非运算）。逻辑非运算又称逻辑否运算。其运算规则为：

④异或逻辑运算（半加运算）。异或运算通常用符号“⊕”表示，其运算规则为：

0⊕0=00同0异或，结果为00⊕1=10同1异或，结果为1

1⊕0=11同0异或，结果为11⊕1=01同1异或，结果为0

即两个逻辑变量相异，输出才为1。