1.3 资金的时间价值

1.3.1 资金时间价值概述

1．资金时间价值的概念

资金时间价值是指资金在生产、流通过程中，随着时间的推移而产生的增值。简单地说资金时间价值就是一定量的资金在不同时间点上的价值量差额。如将今天的100元钱存入银行，在年利率为3%的情况下，一年后就会得到103元。可见经过一年时间，这100元钱发生了3元的增值，这3元就是100元的资金在一年中所产生的价值。

对资金时间价值的理解，可以从两个方面进行。一是资金时间价值既不是资金本身产生的，也不是时间产生的，而是在资金运动（流通—生产—流通）过程中，经过劳动者的生产活动，伴随着时间的推移，产生的增值。因此资金增值的实质是劳动者在生产过程中创造的剩余价值。也就是说不是所有的资金都会有时间价值，只有把资金投入生产经营过程中才能产生时间价值。从投资者角度来看，资金的增值特性使资金具有时间价值。二是资金一旦用于投资，就不能用于现期消费。牺牲的现期消费是为能在将来得到更多的消费。因此从消费者的角度来看，资金的时间价值体现为对放弃现期消费的损失所作的必要补偿。

资金的时间价值是客观存在的，因此房地产企业在经营活动中必须充分认识资金时间价值的意义，缩短建设周期，加速资金周转，提高资金使用效果，提高投资决策水平。

2．资金时间价值的表现形式

资金时间价值有两种表现形式：相对数形式和绝对数形式。相对数形式，即时间价值率，是指扣除风险收益和通货膨胀贴水后的平均资金利润率或平均收益率；绝对数形式，即时间价值额，是指资金在不同时间点的价值量差额，也等于资金与时间价值率的乘积。

资金的时间价值一般用相对数表示。在实际操作时，人们通常使用银行存贷款利率或国债的利率来表示资金的时间价值，因为在通货膨胀率极低的情况下，银行的存贷款利率可近似地看作全社会平均的资金无风险利润率。

3．资金时间价值的衡量——利息与利率

通常在资金时间价值计算中用利息的多少作为衡量资金时间价值的绝对尺度，用利率作为衡量资金时间价值的相对尺度。

（1）利息。

①利息的概念。利息是指占用资金必须付出的代价或放弃使用资金所得的补偿。也就是说利息一方面是资金所有者因为借出货币资金而从借款者手中获得的报酬；另一方面是借贷者使用货币资金必须支付的代价。

利息=本利和-本金

利息常常被看做是资金的一种机会成本。这是因为如果放弃资金的使用权力，相当于失去其他收益的机会，也就相当于付出了一定的代价。

②利息的计算方式——单利与复利。利息的计算方式有单利计息和复利计息之分。单利是指一定期间内只根据本金计算利息，当期产生的利息在下一期不作为本金，不重复计算利息。现行的银行存款计息方法采用的就是单利计息法。如本金为1000元，年利率为3%的5年期单利定期存款，每年的利息收入为30元（1000×3%），到期时的利息收入为150元（30×5）。复利是指在计算利息时，既对本金计算利息，也对前期的利息计算利息，俗称“利滚利”。

由于利息是资金时间价值的体现，而时间是连续不断的，所以利息也是不断地发生的。从这个意义上来说，复利计算方法比较符合资金在现实社会再生产过程中运动的实际状况，比单利计算更能反映资金的时间价值。因此在投资分析中，一般采用复利计算。

（2）利率。

①利率的概念。利率就是在单位时间内（一个计息周期）所得利息额与原借贷款金额之比，通常用百分数表示。

利率=单位时间所得的利息÷本金×100%

利率是各国发展国民经济的重要杠杆之一，利率的高低由如下因素决定：利率的高低首先取决于社会平均利润率的高低，并随之变动；在平均利润率不变的情况下，利率高低取决于金融市场上借贷资本的供求情况；另外通货膨胀与风险对利率的波动也有直接影响。

②名义利率与实际利率。在复利计算下，所给定或采用的利率通常都是年利率，而且在不特别指明的情况下，计算利息的计息周期也是以年为单位，即一年计息一次。但由于计息周期可能是比年还短的时间单位，如计息周期可以是半年、一个季度、一个月等，即利率周期与利息周期不一致时，就出现了名义利率和实际利率的概念。

如果以“年”作为基本计息期，每年计算一次复利，此时的年利率为实际利率（r），如果按照短于一年的计息期计算复利，则这样的年利率为名义利率。如某笔住房抵押贷款为按年还本计息，则其年利率7%为实际利率；如果按月还本计息，则其年利率7%为名义利率。

对于一年内多次复利的情况，可以采取一定的方法将名义利率转换为实际利率。设i为实际利率，r为名义利率，m为一年内的计息次数，P为本金，将全年利息额除以年初的本金，此时得到的利率为实际利率（i），具体如下：

由上述公式可知：当m=1时，i=r

当m＞1时，i＞r，且m越大，相差也越大。

【例1-1】 假设你有资金1000元，准备购买债券。现有两家公司发行债券，情况如下：甲公司年利率7%，每年支付一次利息；乙公司年利率6%，每年支付四次利息。请计算两家公司的实际利率，并比较投资哪个债券的收益更多？

解：

由于甲公司每年复利一次，则甲公司的实际利率等于名义利率，为7%；乙公司每年复利4次，则实际利率6.14%＞名义利率6%，但仍小于甲公司，因此投资甲公司债券收益更多。

1.3.2 资金时间价值的计算

1．资金时间价值计算的基础

（1）计算时点——现值与终值。终值又称将来值，是现在一定量现金在未来某一时点上的价值，俗称“本利和”，通常记作F。现值是指未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值，俗称“本金”，通常记作“P”。

现值和终值是一定量资金在前后两个不同时间点上对应的价值，其差额即为资金的时间价值。现实生活中计算利息时所称本金、本利和的概念相当于资金时间价值理论中的现值与终值。

（2）计算工具——现金流量图。计算资金的时间价值，要清楚资金运动发生的时间和方向，即每笔资金是在哪个时间点上发生的，资金的流向是流入还是流出。现金流量图提供了一个重要的计算资金时间价值的工具，它可以直观、便捷地反映资金运动发生的时间和方向。典型的现金流量图，如图1-3所示。

图1-3中，横轴为时间轴，横轴上的坐标代表各个时间点，0表示时间序列的起点，即现在，n表示时间序列的终点。轴上每一间隔代表一个时间单位（计息周期），可取年、半年、季度等。整个横轴表示的是所考察的经济系统的寿命期。

图1-3中，从各时间点上引出的纵向箭头线表示各时点的现金流量，流向由箭头的指向表示，一般而言向下的箭头表示现金流入，向上的箭头表示现金流出。现金流量的大小用箭头旁的数字表示。

2．计算一次性收付款项的终值与现值

一次性收付款项是指在某一特定时点上一次性支付（或收取），经过一段时间后再相应的一次性收取（或支付）的款项。一次性收付款项的特点是资金的收入或付出都是一次性发生的。由于在投资分析中资金时间价值都是按复利计息的，接下来仅计算一次性收付款项的复利终值和复利现值就可以了。

（1）计算复利终值。复利终值是指本金按复利计算的在未来某一时点上的价值，俗称本利和。复利终值的计算，实际上是在其他条件一定的情况下，已知现值P，求终值F的计算。由复利的定义知：

第1年的本利和F1=P+Pi=P（1+i）

第2年的本利和F2=F1+F1i=F1（1+i）=P（1+i）2

第3年的本利和F3=F2+F2i=F2（1+i）=P（1+i）3

……

第n年的本利和Fn=Fn-1+Fn-1i=Fn-1（1+i）=P（1+i）n

则复利终值的计算公式为：F=P（1+i）n

在上式中，（1+i）n称为“复利终值系数”，用符号（F/P, i, n）表示。这样，上式就可以写为：

F=P（F/P, i, n）

【例1-2】 假设某人将1000元存入银行，年利息率为3%，按复利计算，5年后能取出多少钱？

解：F=P（1+i）n=1000×（1+3%）5=1000×1.1593=1159.3（元）

或者通过查阅复利终值系数计算：

F=P（F/P, i, n）=1000（F/P,3%,5）=1000×1.1593=1159.3（元）

（2）计算复利现值。复利现值是指未来年份收到或支付的现金在当前的价值。复利现值的计算，实际上是在其他条件一定的情况下，已知现值F，求终值P的计算。复利现值的计算公式可以由终值的计算公式导出。

由公式F=P（1+i）n可以得到：

在上式中，1/（1+i）n称为“复利现值系数”，可直接查阅“复利现值系数表”，用符号（P/F, i, n）表示。这样，上式就可以写为：

P=F（P/F, i, n）

【例1-3】 某人计划在3年后得到3000元，年利息率为3%，复利计息，问现在应存多少钱？

或者通过查阅复利现值系数计算：

P=F（P/F, i, n）=3000（P/F,3%,3）=3000×0.9151=2745.3（元）

3．计算年金的终值与现值

（1）年金的含义及类型。年金是指在一定时期内每次等额收付的系列款项，通常记作“A”。折旧、利息、租金、保险费等均表现为年金的形式。年金具有两个特点：金额相等和时间间隔相等。

年金按照付款方式不同，可分为普通年金、即付年金、递延年金和永续年金，具体区别如下所示。

普通年金：从第一期开始每期期末收款、付款的年金，如图1-4所示。

即付年金：从第一期开始每期期初收款、付款的年金，如图1-5所示。

递延年金：在第二期或第二期以后收付的年金，如图1-6所示。

永续年金：无限期的普通年金，如图1-7所示。

（2）普通年金终值与现值的计算。

①普通年金终值计算。普通年金终值犹如零存整取的本利和，它是一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之和。普通年金终值计算示意图，如图1-8所示。

根据复利终值的方法年金终值的计算公式为：

F=A（1+i）0+A（1+i）1+A（1+i）2…+A（1+i）n-2+A（1+i）n-1

将等式两边同时乘以（1+i）得：

F（1+i）=A（1+i）1+A（1+i）2+A（1+i）3…+A（1+i）n-1+A（1+i）n

两者相减得：

式中，称为“年金终值系数”，记作（F/A, i, n），可直接查阅“年金终值系数表”。

【例1-4】 某投资项目于2001年初动工，假设当年投产，从投产之日起每年收益40000元。按年利率6%计算，计算到第2010年末时的总收益是多少？

②普通年金现值计算。普通年金现值是一定时期内每期期末等额收付款项的复利现值之和。普通年金现值计算示意图，如图1-9所示。

根据复利现值的方法，年金现值的计算公式为：

P=A（1+i）-1+A（1+i）-2+A（1+i）-3…+A（1+i）-（n-1）+A（1+i）-n

将两边同乘以（1+i）得：

P（1+i）=A+A（1+i）-1+A（1+i）-2…+A（1+i）-（n-2）+A（1+i）-（n-1）

两式相减得：

式中，称为“年金现值系数”，记作（P/A, i, n），可直接查阅“年金现值系数表”。

【例1-5】 某房地产公司需用一台设备，买价为15万元，使用期限为10年。如果租用，则每年年末需支付租金2万元，除此之外，买与租其他情况相同。假设年利率为9%，计算并分析购买设备与租用设备哪个方案对企业更为有利？

分析：若想比较购买与租用设备两个方案的优劣，需要比较两个项目支出额的大小。本题中因为两个方案支出资金的时间点不同，因此应先将不同时间点的资金转换为同一时间点再进行比较。

解：计算租用设备方案的现值：

P=A（P/A, i, n）=2×（P/A,9%,10）=2×6.417=12.834（万元）

租用方案的现值与购买方案的15万元在同一个时间点，可以直接比较。

因为购买方案的15万元＞租用设备方案12.384万元，所以选择支出小的方案，即选择租用设备方案。

（3）即付年金终值与现值的计算。即付年金与普通年金的区别仅在于等额收付款项时间不同。由于普通年金是最常用的，因此一般把其他类型的年金转换成普通年金，并调整时点差异，计算其他类型年金的终值与现值。

①即付年金终值计算。计算方法如下。

方法一：先将即付年金看成普通年金，套用普通年金终值的计算公式，计算终值，得出来的是在最后一个A位置上的数值，即第n-1期期末的数值，再将其向前调整一期，得出要求的第n期期末的终值，如图1-10所示。

F=A（F/A, i, n）（1+i）

方法二：分两步进行。第一步，先把即付年金转换成普通年金。转换的方法是：假设最后一期期末有一个等额款项的收付，这样，就转换为普通年金的终值问题，按照普通年金终值公式计算终值。不过要注意这样计算的终值，其期数为n+1。第二步，进行调整。即把多算的在终值点位置上的这个等额收付的A减掉。当对计算公式进行整理后，即把A提出来后，就得到即付年金的终值计算公式。即付年金的终值系数和普通年金相比，期数加1，而系数减1。计算示意图，如图1-11所示。

F=A[（F/A, i, n+1）-1]

【例1-6】 王先生从银行贷款购买一处商品房，根据银行的还款计划，每年年初王先生需支付银行贷款3万元钱，需要支付20年。在银行贷款利率为7%的情况下，问20年后王先生共支付银行多少金额？

解：由于王先生为每年年初支付贷款，属于预付年金的范畴，根据预付年金终值的计算公式，可用两种方法计算。

方法一：F=A（F/A, i, n）（1+i）=3（F/A,7%,20）（1+7%）

=3×40.955×1.07=131.47（万元）

方法二：F=A[（F/A, i, n+1）-1]=3[（F/A,7%,21）-1]

=3[44.865-1]=131.60（万元）

由于小数尾数的原因，两种方法计算结果稍有不同，但王先生本项银行贷款在20年后均需支付131万元。

②即付年金现值的计算。计算方法如下。

方法一：分两步进行。第一步，先把即付年金看成普通年金，套用普通年金现值的计算公式，计算现值。注意这样得出来的是第一个A前一期位置上的数值。第二步，进行调整。即把第一步计算出来的现值乘以（1+i）向后调整一期，即得出即付年金的现值。方法一计算步骤，如图1-12所示。

P=A（P/A, i, n）（1+i）

方法二：分两步进行。第一步，先把即付年金转换成普通年金进行计算。转换方法是，假设第1期期初没有等额的收付，这样就转换为普通年金了，可以按照普通年金现值公式计算现值。注意，这样计算出来的现值为n-1期的普通年金现值。第二步，进行调整。即把原来未算的第1期期初的A加上。当对计算式进行整理后，即把A提出来后，就得到了即付年金现值。即付年金现值系数与普通年金现值系数相比，期数减1，系数加1。方法二计算步骤，如图1-13所示。

P=A[（P/A, i, n-1）+1]

【例1-7】 王小姐最近准备买房，看了好几家开发商的售房方案，其中一个方案是A开发商出售一套100平方米的住房，要求分10年，每年年初支付6万元。王小姐想知道每年付6万元相当于现在多少钱，好让她与现在5000元/平方米的市场价格进行比较（银行贷款利率为7%）。请帮助王小姐比较A开发商提出的方案是否合适？

分析：由于A开发商提出的方案是每年年初支付相等的款项，因此属于预付年金，王小姐若想与现在的房屋的市场价格比较，就要计算预付年金的现值。具体有两种方法。

方法一：P=A（P/A, i, n）（1+i）=6（P/A,7%,10）（1+7%）

=6×7.0236×1.07=45.09（万元）

方法二：P=A[（P/A, i, n-1）+1]=6[（P/A,7%,9）+1]

=45.09（万元）

45.09万元/100平方米=4509元/平方米

因为A开发商提出的方案相当于现在4509元/平方米，比现在的市场价格5000元/平方米低，所以王小姐选择A开发商的方案更合适。

（4）递延年金终值与现值的计算。递延年金，是指第一次等额收付发生在第二期或第二期以后的年金。递延年金示意图，如图1-14所示。

①递延年金终值计算。计算递延年金终值和计算普通年金终值基本一样，注意扣除递延期即可。

F=A（F/A, i, n）

【例1-8】 某投资者拟购买一处房产，开发商提出了三个付款方案。

方案一是现在起15年内每年末支付10万元；方案二是现在起15年内每年初支付9.5万元；方案三是前5年不支付，第6年起到15年末支付18万元。假设银行贷款利率为10%，问投资者应如何选择？

分析：从这三个方案的付款时点来看，分别属于普通年金、预付年金和递延年金，选择时应将三个方案的资金转换到同一时间点，先分别计算普通年金、预付年金和递延年金的终值，再进行比较。

解：方案一：F=10×（F/A,10%,15）=10×31.772=317.72（万元）

方案二：F=9.5×[（F/A,10%,16）-1]=9.5×（35.95-1）=332.03（万元）

方案三：F=18×[（F/A,10%,10）=18×15.937=286.87（万元）

因为方案三付款最少，因此投资者应该选择第3种付款方式。

②递延年金现值的计算。

方法一：把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值，这样求出来的现值是第一个等额收付前一期期末的数值，距离递延年金的现值点还有m期，再向前按照复利现值公式折现m期即可。方法一示意图，如图1-15所示。

计算公式如下：

P=A（P/A, i, n）×（P/F, i, m）

方法二：把递延期每期期末都当作有等额的收付A，把递延期和以后各期看成是一个普通年金，计算出这个普通年金的现值，再把递延期多算的年金现值减掉即可。方法二示意图，如图1-16所示。

P=A×[（P/A, i, m+n）-（P/A, i, m）]

方法三：先求递延年金终值，再折现为现值。

P=A×（F/A, i, n）×（P/F, i, m+n）

【例1-9】 某房地产企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前10年不用还本付息，但从第11年至第20年每年年末偿还本息5000元，计算这笔款项的现值。

解：由于房地产企业从银行借款前10年没有现金流出，从第11年至第20年每年年末有现金流出5000元，因此属于递延年金现值的计算，可用三种方法。

方法一：

P=A（P/A,10%,10）×（P/F,10%,10）=5000×6.145×0.386

=11859.85（元）

方法二：

P=A[（P/A,10%,20）-（P/A,10%,10）]=5000×（8.514-6.145）

=11845（元）

方法三：

P=A×（F/A,10%,10）×（P/F,10%,20）=5000×15.937×0.1486

=11841.19（元）

三种计算方法计算数额稍有差别是因小数点的位数造成的。

（5）永续年金。永续年金，是指无限期等额收付的年金。永续年金因为没有终止期，所以只有现值没有终值。

永续年金的现值，可以通过普通年金的计算公式导出。在普通年金的现值公式中P=，当n趋于无穷大，（1+i）-n趋向无穷小时，可得出永续年金现值：P=A/i。

【例1-10】 归国华侨王先生想资助母校学生的培养，特地在母校设立奖学金。奖学金每年发放一次，共发放3万元。奖学金基金保存在当地工商银行，银行一年的定期存款利率为3%。为保证以后每年都能支出5万元，问王先生需一次投入多少钱作为奖学金？

解：由于每年都要拿出5万元，因此该奖学金是一项永续年金，其现值应为：

P=A/i=3/3%=100（万元）

也就是说，王先生需要存入100万元，才能保证这一项奖学金的成功运行。