2007年3月23日
神秘的布尔巴基
1935年，法国数学界出现了一颗璀璨的明星，他就是尼古拉·布尔巴基。布尔巴基充满了创造活力，几乎每一年都要写出一本新书，在《数学原本》这套大书里，他洋洋洒洒地一连出了6卷40章，不仅涉及现代数学各大领域，概括了最新研究成果，也将人类数千年积累的数学知识，按照新视角和新结构重新整合，纳入到一个统一符号、统一概念的框架之中，不仅建成一个全新的数学体系，其内容博大精深，还环环相扣地把各分支数学内容严密无缝地结合，以一个整体展现给世人。法国数学界惊呼，不知是何方神圣，竟有如此之高的胆识、水准与技艺！众人竞相争睹这位数学新星之风采，然而，6卷书中虽卷卷标有布尔巴基之名，而这位作者先生却一直没有露面。
十多年过去了，到了1949年，这位新星终于有了线索。保尔达维亚皇家学院正式宣布说，众人翘首以待的布尔巴基先生已经离开巴黎，去往南加戈大学数学研究所了。令人奇怪的是，南加戈大学数学研究所却发表声明说，他们那里根本没有这个人，这下引起了巨大的轰动，人们恍然大悟，正像过去曾有人怀疑的那样，实际上，可能根本就没有布尔巴基这么一个人！
大家肯定布尔巴基不会再露面，数学家柏亚思也是这样想的，在他为大百科全书撰写词条时，在布尔巴基这一条上注明，这是一群数学家的化身。然而令人没有想到的是，百科全书的出版商居然接到了布尔巴基本人的来信，他抗议柏亚思的这篇文章，并且反击说，数学家柏亚思反倒根本不存在，他只是以B、O、A、S几个字头组合的一个小组，只是他自称为柏亚思而已，弄得柏亚思哭笑不得。
实际上，柏亚斯说的没错，布尔巴基真是一群数学家。他们是一群充满活力与创造力，又有点喜好捉弄人的年轻人。这些人聚在了一起有其时代背景，老一代数学家退出舞台，新一代尚未崛起，而中间一代断档，法国数学面临陨落。
像英国、德国一样，法国也是数学强国。18世纪中叶，法国处于数学的黄金时代，法国皇家科学院和巴黎云集了笛卡尔、拉格朗日、拉普拉斯、柯西、费马、泊松、达兰贝尔、傅里叶、伽罗瓦、安培、嘉当、勒让德和庞加莱等，众多数学大师群星璀璨，使法国成为世界数学中心。然而到了20世纪30年代，法国的数学水平严重衰落，衰落的一个主要原因是“人才难以为继”。第一次世界大战，法国把年轻数学家和大学生都送上了前线，不是死在战场，就是专业中断，号称数学王国的法国整整损失了一代人。新生的一代，只能步更老一代的后尘，法国的数学既失去了活力，也失去了世界中心的地位。另一个主要的原因是法国的数学教育因循守旧，差强人意，难以适应数学的现代发展。
1934年，法国斯特拉斯堡大学有两位年轻的数学教师，一位是29岁的亨利·卡坦，另一位是27岁的安德烈·韦尔，这俩人具有共同的特点，都是法国著名的巴黎高等师范学院的毕业生，都是刚刚来到这所学校不久，分别是3年和1年；都厌倦当时的法国数学教育，都不喜欢当时的教科书，也不喜欢当时传统的数学教学方式，他们都想按自己的方式教书，都在琢磨着寻找一条新路数，也有意编写一套合适的数学用书。图1和图2分别是他们多年后的照片。
图1
图2
这一时期，卡坦和韦尔两人几乎每周都要去趟巴黎，参加亨利·庞加莱研究所的数学研讨会。正是这个机会，使他们结识了书籍出版商，同时也经常与过去高等师范学院的老同学见面。
几个相好的老同学经常在咖啡馆会面，一边喝着咖啡，一边闲聊，共同发泄对法国数学现状的不满。他们认为，在法国当时，人人坚信平等，由此使学术界养成一种风气，似乎无论是谁，只要一冒头，就会遭到围攻，于是人人求同，避免歧异以求自保。法国的年轻一代，正是在这样的环境下成长起来的，加上“一战”的影响，形成了创造性人才断档。在数学领域中，由于学科内容严格的系统性，人才断档带来的影响尤为明显，他们认为，这是使法国在20世纪30年代失去数学优势的主因。
韦尔曾经造访德国的哥廷根，在那里接触过哥廷根、柏林和汉堡不同数学学派的先锋人物，给他的感触很深。他认为，法国数学界也应该像哥廷根那样，世代相继保持自己的风格，他们这一代应该为此做点什么。于是，他提出了一个设想，“以全新的方式贯通并重整数学体系”。他的想法立即得到了呼应。
在1934年1月11日这一天，几个年轻人在卡伯雷特咖啡馆里草拟了一项决议，决心挑战当时法国数学界的态势。这些人是亨利·卡坦（Henri Catan）、克劳德·谢瓦莱（Claude Chevalley）、让·德尔萨特（Jean Delsarte）、让·德埃顿（Jean Dieudonne）、瑞恩·德·帕赛尔（Ryan de Pausal）和安德烈·韦尔（AndréWeil），他们的年龄相差不多，分别出生于1904年、1909年、1903年、1906年、1904年和1906年，都是巴黎高等师范学院的毕业生。
在这个决议中，他们设定了一个宏大的目标：决心花25年的时间，收集并整理散碎的数学，使之系统化，重新确立数学理论体系，当然，这个新体系必须尽可能是现代的。目标的确立，立刻燃起了几位年轻人的激情，决定定期在卡伯雷特咖啡馆会面，先用6个月的时间草拟出一份大纲。1935年，这部书的大纲与大体内容确立，他们决定不随大流，特立独行保持自己的体系和风格，文章必须以全新的面貌出现。
在第二次会议上，他们确定了9个数学家成员，除了前面的6位以外，又多加了3位，这就是保尔·杜布里尔、让·莱瑞和祖里姆·曼德布洛。不过杜布里尔和莱瑞没有坚持太长时间，他们的位子后来由查理斯·埃伦斯曼和基恩·哥伦布所代替。根据目标，这些人分成了几组，并设定了分工领域，包括如下题目：代数学、函数分析、积分理论、微分方程、微分方程的现存理论、偏微分方程、微分和微分形式、变量计算、特殊函数、几何学、傅里叶级数、函数的表征、拓扑学等。
1935年7月小组召开了第一次会议，参加者共7人，经过讨论有了几点共识，一是这套书要摆脱现有数学用书的套路，要体现数学的整体性，并决定以尼可拉·布尔巴基为作者的署名。
令人好奇的是，这个名字究竟是怎么想出来的。它来源于法国的一位将军查理斯·萨特·布尔巴基，他曾在1870—1871年参加过普法战争。在小组聚会时，韦尔给大家讲了件好玩的事。他在高等师范学院读书时，按照学校的传统，在入学的第一年，学校要求所有的新生都要听高年级学生的演讲。这次演讲的学长是拉奥尔·哈松，他自称是一个杰出的数学家。此人一出场，就显得“臭气烘烘”。他带着一撇假胡子，操着浓重的外国口音，宣讲了傅里叶级数理论，然而所讲不仅错误百出，还把每个错误都归因到一个假想的数学家，他就用了那位参加普法战争将军的名字，说所讲的一切都是根据“布尔巴基定理”。小组成员觉得这件事好玩极了，于是决定给自己也起这个名字。他们还给这位布尔巴基先生冠上一个姓——尼古拉，这是一位古希腊英雄，于是这位布尔巴基先生就有了一个好的“出身”。图3是参加布尔巴基小组第一次会议的7人，后排左起：亨利·卡坦、瑞恩·德·帕赛尔、让·迪厄多内、安德烈·韦尔、大学实验室的实验员；前排左起：米尔里斯、克劳德·谢瓦莱、祖里姆·曼德布洛。
图3
从1935年6月的第一次会议后，布尔巴基每年3次定期举行会议，大多数会议持续一周，有时两周，利用这段时间，讨论各自所做出的成果。他们之间的关系有着一种令人不解的奇特，这也是布尔巴基的魅力所在。这些人对数学的全盘知识了如指掌，看问题尖锐，提出意见也毫不客气，对一个问题，一遍又一遍地穷追不舍，无论涉及知识体系还是方法论，不放过其中任何一个瑕疵。一次宣读一份草稿，每个人都参与讨论，彼此互不留情，无论什么声望、年龄、地位和资历，对布尔巴基来说，都被视为无效，有时一章内容要重新起草六七遍甚至更多。这里没有头衔、没有中心、没有规矩，思想自由驰骋，人在其中，都要经受众人的裁决，接受严厉的批评。与其说是数学家的学术讨论，不如说更像是一群疯子在吵架。他们不在乎彼此的大声喊叫，有时两三个人、有时四五个人同时喊叫，都声称自己是最聪明、最正确的。更令人奇怪的是，脸红脖子粗地嚷嚷一通之后，每次都安静、微笑、友好地相互告别。
作为小组召集人，韦尔（图4）是这样描述他们聚会的：“我们的讨论可以说是毫无秩序的，我们就是要营造这种‘无秩序’。从来不需要谁是头领，谁想说什么就说什么，每一个人都有权力去打断别人。这种无秩序、无规则的讨论是小组的全体成员共同营造出来的。”没有权威、没有名分，也没有一致，如此相互碰撞出来的火花，其创造力更富有生气，所创造的成果也更加坚实。图5是1938年布尔巴基小组成员。
图4
图5
布尔巴基决定采用数学公理法，利用这种方法重新创建数学体系，使微积分、几何学、代数学、数论等分支像“同素异构体”那样，都统一在同一个体系之中。当然，他们也意识到这是一件非常艰难的事，但是布尔巴基更注重普遍性概念，这些更为基础的普遍的东西将适用于多个领域，适于多种问题，更节省时间和精力，尤其在当时，这种节省有可能更为重要。如果布尔巴基认为他们有责任去实现这件事，他们就这样做，因为只有这样做，才能给未来数学以更强有力的帮助，以利未来数学的发展。
就在开始的这一年，布尔巴基决定出版的这部系列书，一定要具有自己的特点，要自成体系，整套书应该呈现线性序列，所需参考的内容，应该是按照所设定的顺序，是上一本书或者更前面的书中介绍过的，也就是，所有参考资料只需在这套书中去查找。于是，他们首先制定出6卷书的计划：第一卷：理论设定；第二卷：代数学；第三卷：拓扑学；第四卷：实变量代数；第五卷：拓扑向量空间；第六卷：积分学（几十年以后，又增加了后三卷）。全套内容依照顺序写就，参考内容也需依照先后顺序出现。为了能使后面参考到前面的内容，布尔巴基费尽了心机，花了很长的时间整理这套书的顺序，直到1939年，第一卷才真正面世。布尔巴基有共同约定，每一部都分册出版，由小组成员按册分工，一旦谁得到稿酬，要请全组喝美酒并大吃一顿。此外为了使布尔巴基保持年轻活力，布尔巴基的年龄不能太大，只限制到50岁。
书的名字《数学原本》直到1938年才最后敲定，在这个书名上，“数学”二字没有按照惯常方式，而是使用了“单数”形式，这正体现了他们的理念。在第一卷中还包括了全套书所需用的概念、符号和公式。全套书包括了几乎全部的近代数学，他们将所有的数学领域分支纳入到一个融会贯通的体系之中。整部书设置得得体，大多数的证明都已经完成，所证明部分不仅完整，而且显得非常清晰易懂。尤其是最后一卷，它的整个结构非常有趣，所有的相关概念，如拓扑、群、环等都依照顺序出场，使概念更具有一般性，全书融会贯通，一气呵成。
到了1940年，布尔巴基第三卷的前两册出版，另两册到了1942年出书，此时由于“二战”，韦尔和克劳德·谢瓦莱去往美国，只有卡坦和德埃顿留下继续工作。战后，布尔巴基的成员有了一些变更，但仍然继续工作。除了1935年原计划的6卷外，后来的成员又陆续增补了第七卷：变换代数；第八卷：李代数；第九卷：逻辑泛函谱理论。至2007年3月23日《数学原本》前8卷出齐，到了2012年又出版了第九卷。《数学原本》如图6所示。
图6
布尔巴基真不简单，从概念名称、数学符号到观念和理论体系都做了统一，使原来处于杂乱无章的几大类型的数学结构理论，都用公理方法统一了起来，它的目标之高远、效率之快捷、工程之浩瀚可谓惊人。自它之后，无论从名称、符号与方法，如自然数集合、整数集合、有理数集合、实数集合、复数集合等都按照一定的符号格式和名称标示；正是布尔巴基的工作，使得代数数论、代数几何学、李群、泛函分析等得以在“二战”之后迅速发展起来。图7是布尔巴基1951年的一次会议，最右者是安德烈·韦尔。
图7
布尔巴基也是承前启后的桥梁。他把人类长期积累的数学知识都按照统一的结构模式纳入到一个有序的体系之中，这一套《数学原本》已成为一部数学史上的著名经典之作，成为现代数学成果中的重要组成部分，随着这套书的出现，连同布尔巴基的众位作者，已然成为当今数学界的一个重要学派。
这个学派所做的工作虽然很重要，但是无论做了什么，无论所做有什么瑕疵，或有什么局限性都还不是最重要的，唯有这一学派所代表的青年学者的重要特征，即不畏权势、不惧偏颇、以群体优势弥补个体缺陷、以个体支撑群体、博采众长、挣脱学术壁垒、永葆青春活力和创造力，以及为后人所树立的健康、持久的良好学术风范才是最重要的。
关键词：尼古拉·布尔巴基，《数学原本》，Nicolas Bourbaki，Elements of Mathematic
图1：http://www.telegraph.co.uk/news/obituaries/2614984/Henri-Cartan.html
图2：http://www.storyofmathematics.com/20th_weil.html
图3：http://www.canalacademie.com/IMG/jpg/bourbaki-2.jpg
