第3章 空间力系与重心
【内容提要】
本章主要是介绍空间力系的合成与平衡问题；力沿空间直角坐标轴的分解和投影，力对轴之矩，常见空间约束类型及约束反力；空间汇交力系、空间平行力系和空间任意力系；建立空间力系的平衡条件和平衡方程式；轮轴类部件的空间力系转化为平面力系平衡问题的解法；物体重心的概念及确定重心位置的方法。
前面讨论了平面力系，即力系中各力的作用线都在同一平面内。若各力的作用线不在同一平面内，则这种力系称为空间力系。显然，平面力系是空间力系的特殊情况。与平面力系相类似，空间力系也可分为空间汇交力系、空间平行力系和空间任意力系。本章重点讨论工程中应用较广的空间任意力系的平衡问题。
3.1 力在空间直角坐标轴上的投影
3.1.1 一次投影法
若已知力F及其与三个坐标轴x，y，z所夹的锐角α，β，γ，如图3-1所示，则可做出以力F为对角线、各棱边与坐标轴平行的直角平行六面体。由图可知，力F在三个坐标轴上的投影分别为Oa，Ob，Oc，如分别以Fx，Fy，Fz表示，与平面汇交力系中力的投影相同，考虑正、负号后便有
图3-1
3.1.2 二次投影法
当已知包含力F和z轴组成的平面与x轴所夹的锐角φ，以及力F与z轴所夹的锐角γ，如图3-2所示，则可采用二次投影法求力F在三个坐标轴上的投影。即先将力F投影到坐标平面Oxy上，得F′（力在平面上的投影是矢量，因为它的方向不能像力在坐标轴上的投影那样只需用正、负号来表示）。由图可知F′=F·sinγ然后再将F′投影到x，y坐标轴上。考虑到正、负号后，力F在三个坐标轴上的投影分别为
图3-2
如果将力F沿坐标轴x，y，z分解为三个分力Fx，Fy，Fz（见图3-3），则此三分力的大小分别等于相应的投影值。
图3-3
3.2 力对轴之矩合力矩定理
在平面力系中已讨论了力对点之矩，对于空间力系，需要讨论力对轴之矩。
现以开门为例（见图3-4），门可绕通过铰链中心的z轴转动。设在门上A点作用一力F。为研究力F使门绕z轴转动的效果，通过A点做一垂直于z轴的平面S，将力F分解为两个相互垂直的分力F1和F2，其中F2与z轴平行，F1在平面S内。由经验可知，F2不能使门绕z轴转动，所以力F对z轴之矩，等于分力F1对z轴之矩，若以mz（F），mz（F1）分别表示力F和分力F1对z轴之矩，则mz（F）=mz（F1）。由图可知，力Fl也就是力F在平面S上的投影。
图3-4
分力F1对z轴之矩mz（F1），实际上就是F1对z轴与平面S的交点O之矩。若O点到力Fl作用线的垂直距离为d，则mz（F1）=±F1d，因此，力F对z轴之矩为
由此可得：力F对z轴之矩，等于力F在垂直于z轴的平面S上的投影对z轴与平面S的交点之矩。
式（3-3）中的正、负号表示力对轴之矩的转向，通常规定：迎着z轴的正向看去，力使物体绕z轴做逆时针转动时取正号，反之取负号。
空间力系对轴之矩也存在着合力矩定理（这里不做证明）：空间力系的合力R对某一轴之矩，等于各分力F1，F2，…，Fn对同一轴之矩的代数和，其数学表达式为
3.3 空间力系的平衡
在工程实际中，有许多物体在空间力系作用下处于平衡状态。例如，装有带轮和齿轮的轮轴（见图3-5）作用在胶带上的拉力F1和F2，齿轮上的圆周力Ft、径向力Fr，以及两支座上的约束反力RAx，RAz，RBx，RBz构成一空间力系，轮轴在此空间力系作用下匀速转动，即处于平衡状态。
图3-5
3.3.1 空间任意力系的平衡方程
物体在空间任意力系作用下平衡的必要与充分条件是：力系对物体无任何方向的平动作用，即无移动效应；也无绕任何轴的转动作用，即无转动效应（这里不做推导）。
式（3-5）表示，空间任意力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零；同时各力对三个坐标轴之矩的代数和也分别等于零。
式（3-5）有六个独立的平衡方程，可以求解六个未知量。因此，物体在空间任意力系作用下处于平衡时，如果未知量的数目超过六个，则是静不定问题。
对于轮轴等物体在空间任意力系作用下的平衡问题，可以直接运用式（3-5）来求解，也可将各力分别投影到三个坐标平面上，转化为平面力系来求解。
3.3.2 空间汇交力系的平衡方程
各力的作用线不在同一平面内，但汇交于一点的力系，称为空间汇交力系。设一刚体在空间汇交力系F1，F2，…，Fn作用下处于平衡状态，如图3-6所示（为了简明起见，图中未画出刚体），空间汇交力系的平衡问题可以看做空间一般力系平衡问题的特殊情况。若选取如图3-6所示的空间直角坐标系，使坐标原点与各力作用线的汇交点重合，这样，力系中各力对坐标轴x，y，z的力矩都等于零，所以空间汇交力系的平衡方程为
图3-6
3.3.3 空间平行力系的平衡方程
各力的作用线不在同一平面内但相互平行的力系，称为空间平行力系。设一刚体在空间平行力系F1，F2，…，Fn作用下处于平衡状态，如图3-7所示（图中未画出刚体），空间平行力系的平衡问题也可看做空间任意力系平衡问题的特殊情况。若选取如图3-7所示的空间直角坐标系，使某一轴（如z轴）与各力的作用线相平行，这样，式（3-5）中的∑Fx=0，∑Fy=0，∑mz（F）=0三个方程恒等于零，故空间平行力系的平衡方程为
图3-7
【例3-1】 直杆OA，OB，OC用光滑的球形铰链连接成支架，如图3-8（a）所示。平面ABC和平面OCD都是铅垂的，且相互垂直。在位于O点处的铰链上挂有重G=5kN的物体。杆重略去不计，试求三根直杆所受力的大小，并说明是受拉还是受压（图中尺寸的单位为mm）。
解：（1）选取球形铰链连同所吊重物为研究对象，杆OA，OB，OC均为双球铰刚杆，它们对球形铰链的反力分别沿着连线OA，OB，OC的方向，其受力图和所取的坐标系如图3-8（b）所示，这是一个空间汇交力系的平衡问题。
图3-8
（2）为了求解各杆所受的力，先求出角度α，β，γ，由图上可得
（3）运用式（3-6）求解约束反力
∑Fz=0，SCcosγ-G=0
得
得
将式SC和SA代入式∑Fy=0可解得
将SB值代入式（3-8）得
根据作用与反作用定律可知，杆OC受压，杆OA，OB受拉。
【例3-2】 三轮小车停放于光滑水平面上，如图3-9所示，AD=BD=0.5m，CD=1.5m。若在车上E点作用一铅垂载荷P=1.5kN，EF=DG=0.5m，DF=GE=0.1m。试求地面作用于A，B，C三点处的轮子的反力。
图3-9
解：（1）取小车为研究对象，作用于其上的力有载荷P和地面对轮子的反力NA，NB，NC，这是一个空间平行力系的平衡问题。
（2）取如图3-9所示的坐标系Axyz，运用式（3-7）求解约束反力。
∑mx（F）=0，NC·CD-P·EF=0
得
得
得
NA=P-NB-NC=1.5-0.35-0.5=0.65（kN）
3.4 空间力系问题的平面解法
在机械工程中，常把空间的受力图投影到三个坐标平面，画出主视、俯视、侧视三个视图。分别列出它们的平衡方程，同样可解出所求的未知量。这种将空间问题分散转化为三个平面问题的讨论方法，称为空间问题的平面解法。这种方法特别适合于解决轮轴类构件的空间受力平衡问题。
【例3-3】 起重机铰车的鼓轮轴如图3-10（a）所示。已知G=10kN，手柄半径R=20cm，E点有水平力P作用，鼓轮半径r=10cm，A，B处为向心轴承，其余尺寸如图3-10所示，单位均为cm。试求手柄上的作用力P及A，B两处的径向反力。
图3-10
解：（1）取轮轴为研究对象，画出它的分离体在三个坐标平面上的受力投影图（图3-10（b））。
（2）对符合可解条件的先行求解。先从xz平面解起。
xz面：
yz面：
yz面：
xy面：
xy面：
【例3-4】 一轴上装有一个齿轮和一个带轮，如图3-11（a）所示。齿轮的分度圆直径d=94.5mm，带轮直径D=320mm，工作时胶带的拉力F1=800N，F2=300N，试求齿轮上的圆周力Ft，径向力Fr和支座A，B两处的约束反力的大小。图中尺寸的单位为mm。
解：（1）选取齿轮、带轮和轴为研究对象，画出受力图，如图3-11（a）所示。
（2）将空间的受力图投影到三个坐标平面上，运用平面一般力系的平衡方程求解未知量。
在Axz平面内（见图3-11（d））：
得
图3-11
径向力Fr与圆周力Ft有关，由齿轮的压力角α决定，（通常α=20°），即
Fr=Fttanα=1693tan20°=616.2（N）
在Ayz平面内（见图3-11（b））：
∑mA（F）=0，Fr·120+F2sin30°×530-RBz（530+90）=0
得
得
RAz=Fr+RBz-F2sin30°=616.2+247.5-300sin30°=713.7（N）
在Axy平面内（见图3-1l（c））：
∑mA（F）=0，
RBx（530+90）-（Fl+F2cos30°）×530-Ft×120=0
得
得
RAx=RBx+Ft-F1-F2cos30°=1234+1693-800-300cos30°=1867（N）
3.5 重心
3.5.1 重心的概念及其坐标公式
地球上或地球表面附近的物体，都受到地球对它的吸引力，即重力的作用。设物体由无数个微小部分组成，可以把物体各部分的重力看成是铅垂向下相互平行的空间力系，这个空间平行力系的合力为物体的重力，重力的大小等于物体所有各部分重力大小的总和，称为物体的重量，合力作用点称为物体的重心。
重心在工程实际中具有重要意义，重心的位置会影响物体的平衡与稳定，因此确定物体重心的位置尤为重要。例如，起吊重物时，吊钩必须位于被吊物体重心的正上方，以保持起吊后物体的平衡；汽车、飞机、船舶等重心的位置，对其行驶或飞行的稳定性有直接影响；机械中的转子、飞轮等都要求设计、制造、安装时使其重心位于转轴轴线上，以免引起强烈振动，甚至引发事故等。
分布于物体的重力系可足够精确地认为是一个空间平行力系，我们应用合力矩定理确定重心位置。设物体微小部分所受的重力为ΔWi，则整个物体的重量W为
W=∑ΔWi
取直角坐标系Oxyz如图3-12所示，设任一微小部分的坐标为xi，yi，zi，重心C的坐标为xc，yc，zc。根据合力矩定理，对x轴取矩，有
图3-12
W·yc=ΔW1·y1+ΔW2·y2+…+ΔWi·yi=∑ΔWi·yi
再对y轴取矩，有
W·xc=ΔW1·x1+ΔW2·x2+…+ΔWi·xi=∑ΔWi·xi
同理可得
W·zc=ΔW1·z1+ΔW2·z2+…+ΔWi·zi=∑ΔWi·zi
由以上三式可得计算重心坐标的公式，即
若物体是均质的，则各小部分的重力ΔWi与其体积ΔVi成正比，物体的重量W也必按相同的比例与物体的总体积V=∑ΔVi成正比。于是式（3-8）化为
可见均质物体的重心与物体的重量无关，重心的位置仅决定于物体的几何形状。由式（3-9）确定的几何点称为物体的形心。
如果物体是均质薄板，则不考虑zc。以A表示其面积，ΔAi表示各微小部分的面积，则其重心（形心）的坐标公式为
3.5.2 确定物体重心的方法
1.对称法
如果均质物体具有对称面、对称轴或对称中心，则物体的重心（形心）一定在其对称面、对称轴或对称中心上。如图3-13所示，工程实际中常用的几种型钢的截面形状，其重心都在它们的对称轴上。又如圆球的球心是对称中心，则它也是圆球的重心。
图3-13
常用的简单形状均质物体的重心列于表3-1中。
表3-1 简单形状均质物体的重心表
2.组合法
若物体由若干个较简单的形体组成，其中每一个形体的重心又易于确定，则此均质物体的重心（形心）位置分别由式（3-9）和式（3-10）确定。
（1）分割法。将物体分割成几个简单形状的形体，则整个物体的重心即可确定。
【例3-5】 试求Z形截面重心的位置。其尺寸如图3-14所示。
图3-14
解：将Z形截面看做由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个矩形面积组合而成，每个矩形的面积和重心位置可方便求出。取坐标轴如图3-14所示。
Ⅰ：A1=300mm2，x1=15mm，y1=45mm
Ⅱ：A2=400mm2，x2=35mm，y2=30mm
Ⅲ：A3=300mm2，x3=45mm，y3=5mm
按式（3-10）求得该截面重心的坐标xc、yc为
（2）负面积法。若物体内切去一部分，则其重心仍可应用式（3-10）和式（3-11）确定，只是切去部分的体积或面积应取负值。
【例3-6】 求图3-15所示图形的形心。已知大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的中心距为a。
图3-15
解：取坐标系如图所示，因图形对称于x轴，其形心在x轴上，故yc=0。
图形可看做由两部分组成，挖去的面积以负值代入，两部分图形的面积和形心坐标为
A1=πR2，x1=y1=0
A2=-πr2，x2=a，y2=0
由公式（3-10）可得
3.实验法
对于形状复杂或质量分布不均匀的物体，当用计算的方法求重心位置较为困难时，工程中常采用实验的方法测定其重心的位置。
（1）悬挂法。设求某零件截面的形心，可用纸板按一定比例做成该截面的形状，先将该纸板悬挂于任意一点A，根据二力平衡公理，重心必在通过悬挂点A的铅垂线上，标出此直线AB，如图3-16（a）所示；然后再将纸板悬挂于任意点D，同样标出另一直线DE，则AB与DE的交点C即为零件截面的形心，如图3-16（b）所示。有时也可以悬挂二次以上，以提高精度。
图3-16
（2）称重法。有些形状复杂、体积庞大的物体可用称重法求其重心。例如，内燃机的连杆，因它具有对称轴，故只需确定重心在此轴线上的位置xc。将连杆B端放在台秤上，A端搁在水平面上，使中心线AB处于水平位置，如图3-17所示。设连杆的质量为W，用台秤称得B端的反力FB的大小，由∑MA（F）=0，得
FB×l-W×xc=0
图3-17
故
本章小结
1．力在空间直角坐标系上的投影计算与力对轴之矩的计算是解空间力系平衡问题的基本运算。力的投影计算分为一次投影法与二次投影法。一次投影法计算力在平面与坐标轴上的投影为力和力与平面或坐标轴之间夹角余弦的乘积。二次投影法是先将力向坐标平面上投影，再向坐标轴投影，其中每一次投影的做法都与一次投影法相同。
2．空间力系的平衡方程式：∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0，∑mx（F）=0，∑my（F）=0，∑mz（F）=0，六个平衡方程式。
3．空间力系平衡问题的解法亦有两种：一种是直接利用空间力系的六个平衡方程式，进行计算，当然可分成空间汇交力系、空间平行力系和空间一般力系；另一种则是将物体连同物体上的作用力一起向坐标面做投影，将一个空间力系问题转化成三个平面力系问题来考虑，这就是空间力系问题的平面解法。
4．重心是物体重力合力的作用点，相对于物体具有确定不变的位置。均质物体的重心与其形心相重合。解题时，可根据物体的具体情况，选用相应公式确定物体的重心位置。
思考题和习题3
3-1 直杆OA，OB，OC用光滑的球形铰链连接成支架，如图3-18所示。平面ABC和平面OCD都是铅垂的，且相互垂直。在铰链O上挂有重G=5kN的物体。杆重可略去不计，试求三根直杆所受力的大小，并说明是受拉还是受压。图中尺寸的单位为mm。
图3-18
3-2 重G=600N的三脚圆台放置于光滑水平面上，如图3-19所示。圆台的半径R=50cm，三个脚的顶端A，B，C形成一等边三角形。今在中线BO的延长线上的D点作用一铅垂力P=1500N。试求：
图3-19
（1）当OD=a=30cm时，三个脚所受的力；（2）欲使圆台不致翻倒时的距离a的最大值。
3-3 轴上装有两个齿轮，如图3-20所示。两齿轮的分度圆直径分别为dl=250mm，d2=120mm。若齿轮1上受到的圆周力Ft1=500N，径向力Fr1=182N，图中尺寸的单位为mm，试求齿轮2上的圆周力Ft2和径向力Fr2（Fr2=Ft2tan20°），以及轴承A，B两处的约束反力。
图3-20
3-4 斜齿圆柱齿轮的受力情况如图3-21所示。已知圆周力Ft=1380N、径向力Fr=520N、轴向力Fa=370N，分度圆直径d=290mm。试求轴端输入的力偶矩m，以及轴承A，B两处的约束反力。
图3-21
3-5 求对称工字形钢截面的形心，尺寸如图3-22所示。
图3-22
3-6 确定图3-23所示均质板重心位置。
图3-23